一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以
P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)
=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)
=×
+
×
=.
(2)X可能的取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1--
=
,P(X=500)=
,
P(X=800)=.
所以X的分布列为
X | 400 | 500 | 800 |
P | | | |
E(X)=400×+500×
+800×
=506.25.
现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是
,且各题答对与否相对独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
解:(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.
因为P()=
=
,
所以P(A)=1-P()=
.
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C·
0·
2·
=
;
P(X=1)=C·
1·
1·
+C
0·
2·
=
;
P(X=2)=C·
2·
0·
+C
1·
1·
=
;
P(X=3)=C·
2·
0·
=
.
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | | | | |
所以E(X)=0×+1×
+2×
+3×
=2.
一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;
(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)==
,
所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=1)==
,P(X=2)=
=
,P(X=3)=
=
,P(X=4)=
=
.
所以随机变量X的分布列是
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | | | | |
随机变量X的数学期望EX=1×+2×
+3×
+4×
=
.
从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为__________;
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为__________.
(1)0.004 4 (2)70解析:(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)×50=0.22,于是x==0.004 4.
(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6+0.006 0+0.004 4)×50=0.7,
∴所求户数为0.7×100=70.
将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有__________种(用数字作答).
480解析:如图六个位置.若C放在第一个位置,则满足条件的排法共有A
种情况;若C放在第2个位置,则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A,B,再在余下的3个位置排D,E,F,共A
A
种排法;若C放在第3个位置,则可在1,2两个位置排A,B,其余位置排D,E,F,则共有A
A
种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A,B,再在其余3个位置排D,E,F,共有A
A
种排法;若C放在第4个位置,则有A
A
+A
A
种排法;若C放在第5个位置,则有A
A
种排法;若C放在第6个位置,则有A
种排法.
综上,共有2(A+A
A
+A
A
+A
A
)=480(种)排法.
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