解：(1)因为数列{a_n}为等差数列，所以a₃＋a₄＝a₂＋a₅＝22.又a₃·a₄＝117，

所以a₃，a₄是方程x²－22x＋117＝0的两实根，又公差d>0，所以a₃<a₄，所以a₃＝9，a₄＝13，

所以

所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝4n－3.

(2)由(1)知a₁＝1，d＝4，

所以S_n＝na₁＋×d＝2n²－n，

所以

所以其中c≠0.

因为数列{b_n}是等差数列，所以2b₂＝b₁＋b₃，

即，所以2c²＋c＝0，

所以c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－.

即存在一个非零实数c＝－，使数列{b_n}为等差数列．

解：(1)令n＝1得2a₁a₂＝4S₁－3，又a₁＝1，所以a₂＝.

2a_na_n＋1＝4S_n－3，①

2a_n＋1a_n＋2＝4S_n＋1－3②

②－①得，2a_n＋1(a_n＋2－a_n)＝4a_n＋1.

因为a_n＋1≠0，所以a_n＋2－a_n＝2.

(2)由(1)可知：数列a₁，a₃，a₅，…，a_2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a_2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n为奇数时，a_n＝n.

数列a₂，a₄，a₆，…，a_2k，…为等差数列，公差为2，首项为，所以a_2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n为偶数时，a_n＝n－.综上所述，a_n＝.

解：(1)设等差数列{a_n}的公差为d，

则a₂＝a₁＋d，a₃＝a₁＋2d.

由题意得

解得

所以由等差数列通项公式可得a_n＝2－3(n－1)＝－3n＋5或a_n＝－4＋3(n－1)＝3n－7.

故a_n＝－3n＋5或a_n＝3n－7.

(2)当a_n＝－3n＋5时，a₂，a₃，a₁分别为－1，－4，2，不成等比数列；

当a_n＝3n－7时，a₂，a₃，a₁分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．

故|a_n|＝|3n－7|＝

记数列{|a_n|}的前n项和为S_n.

当n＝1时，S₁＝|a₁|＝4；

当n＝2时，S₂＝|a₁|＋|a₂|＝5；

当n≥3时，S_n＝S₂＋|a₃|＋|a₄|＋…＋|a_n|

＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)

＝5＋＝n²－n＋10.

当n＝2时，满足此式，当n＝1时，不满足此式．

综上，S_n＝

解：(1)证明：当n＝1时，有2a₁＝a＋1－4，

即a－2a₁－3＝0，

解得a₁＝3(a₁＝－1舍去)．

当n≥2时，有2S_n－1＝a＋n－5，

又2S_n＝a＋n－4，

两式相减得2a_n＝a－a＋1，

即a－2a_n＋1＝a，也即(a_n－1)²＝a，

因此a_n－1＝a_n－1或a_n－1＝－a_n－1.

若a_n－1＝－a_n－1，则a_n＋a_n－1＝1.

而a₁＝3，

所以a₂＝－2，这与数列{a_n}的各项均为正数相矛盾，所以a_n－1＝a_n－1，

即a_n－a_n－1＝1，

因此数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知a₁＝3，d＝1，

所以数列{a_n}的通项公式a_n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a_n＝n＋2.

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