如图,已知椭圆,抛物线
,点A是椭圆
与抛物线
的交点,过点A的直线l交椭圆
于点B,交抛物线
于M(B,M不同于A).
(Ⅰ)若,求抛物线
的焦点坐标;
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)将p代入方程求得抛物线方程即可得到焦点坐标;
(Ⅱ)设,联立直线与椭圆方程得到根与系数的关系,进一步得到M的坐标,进一步得到关于
的方程,联立直线与抛物线方程得到
,再联立抛物线与椭圆方程得到
,即可建立方程,再利用基本不等式求最值即可.
【详解】(Ⅰ)当时,
的方程为
,故抛物线
的焦点坐标为
;
(Ⅱ)设
由
由M在抛物线上,所以
由即
所以,
,
,
所以,的最大值为
,此时
.
【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,涉及到求函数的最值,考查学生的数学运算能力,是一道有一定难度的题.
在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(I)求角B;
(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.
(I);(II)
【解析】
【分析】
(I)首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小;
(II)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式,然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】(I)由结合正弦定理可得:
△ABC为锐角三角形,故.
(II)结合(1)的结论有:
.
由可得:
,
,
则,
.
即的取值范围是
.
【点睛】解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”;求最值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.
如图,三棱台DEF—ABC中,面ADFC⊥面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC =2BC.
(I)证明:EF⊥DB;
(II)求DF与面DBC所成角的正弦值.
(I)证明见解析;(II)
【解析】
【分析】
(I)作交
于
,连接
,由题意可知
平面
,即有
,根据勾股定理可证得
,又
,可得
,
,即得
平面
,即证得
;
(II)由,所以
与平面
所成角即为
与平面
所成角,作
于
,连接
,即可知
即为所求角,再解三角形即可求出
与平面
所成角的正弦值.
详解】(I)作
交
于
,连接
.
∵平面平面
,而平面
平面
,
∴平面
,即有
.
∵,
∴.
在中,
,即有
,∴
.
由棱台的定义可知,,所以
,
,而
,
∴平面
,而
平面
,∴
.
(II)因为,所以
与平面
所成角即为与
平面
所成角.
作于
,连接
,由(1)可知,
平面
,所以平面
平面
,而平面
平面
,∴
平面
.
即在平面
内的射影为
,
即为所求角.
在中,设
,则
,
,
∴.
故与平面
所成角的正弦值为
.
【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面垂直的判定定理的应用,直线与平面所成的角的求法,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,属于基础题.
已知数列{an},{bn},{cn}中,.
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列,且公比,且
,求q与an的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列,且公差,证明:
.
(I);(II)证明见解析
【解析】
【分析】
(I)根据,求得
,进而求得数列
的通项公式,利用累加法求得数列
的通项公式.
(II)利用累乘法求得数列的表达式,结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】(I)依题意,而
,即
,由于
,所以解得
,所以
.
所以,故
,所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列,所以
.所以
.
所以,故
(
).
所以
.
(II)依题意设,由于
,
所以,
故
.
所以
.
由于,所以
,所以
.
即.
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式,考查裂项求和法,属于中档题.
已知,函数
,其中e=2.71828…为自然对数的底数.
(Ⅰ)证明:函数在
上有唯一零点;
(Ⅱ)记x0为函数在
上的零点,证明:
(ⅰ);
(ⅱ).
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