2020安徽高二下学期高中数学期末考试137556
高中
整体难度：中等
2020-09-11
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共6题)
添加该题型下试题
1.
已知函数
，其中
.
（1）若
，讨论
的单调性；
（2）若
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：170
【答案】
解：（1）因为，所以
．
所以
．
当
时，由
得
；由
得
．故在
上单调递减，在
上单调递增．
当
时，由得
；由得
．故在
上单调递减，在
上单调递增
综上可知，当时在上单调递减，在上单调递增；当时在上单调递减，在上单调递增．
（2）若，不等式转化为当时，
恒成立．
令
，则
．
令
，则
．
①当
时，对任意
，恒有
，所以
在
上单调递增，所以
，所以不合题意．
②当
时，因为，所以
，所以
，即
，
所以
在上单调递减，所以
，即
，
所以在上单调递减，所以
，所以符合题意
③当
时，令
，解得
，令
，解得
．所以在
上单调递增．所以
，即
，所以在上单调递增，所以当
时，，
故不合题意．
综合①②③可知，实数的取值范围是
．
2.
2019年10月，工信部颁发了国内首个
无线电通信设备进网许可证，标志着基站设备将正式接入公用电信商用网络.某
手机生产商拟升级设备生产手机，有两种方案可供选择，方案1：直接引进手机生产设备；方案2：对已有的手机生产设备进行技术改造，升级到手机生产设备.该生产商对未来手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表：
| 市场销售状态 | 畅销 | 平销 | 滞销 | |
| 市场销售状态概率 |
|
|
| |
| 预期年利润数值（单位：亿元） | 方案1 | 70 | 40 | -40 |
| 方案2 | 60 | 30 | -10 | |
（1）以预期年利润的期望值为依据，就
的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案进行设备升级？
（2）设该生产商升级设备后生产的手机年产量为
万部，通过大数据模拟核算，选择方案1所生产的手机年度总成本
（亿元），选择方案2所生产的手机年度总成本为
（亿元）.已知
，当所生产的手机市场行情为畅销、平销和滞销时，每部手机销售单价分别为0.8万元，
（万元），
（万元），根据（1）的决策，假设生产的手机全部售尽，求该生产商所生产的手机年利润期望的最大值？并判断这个最大值能否超过预期年利润的数值.
难度：
知识点：函数的应用
使用次数：146
【答案】
（1）由
，可得的取值范围为
.
方案1的预期年利润期望值为
.
方案2的预期年利润期望值为
.
当
时，
，该手机生产商应该选择方案1；
当
时，
，该手机生产商可以选择方案1，也可以以选择方案2；
当
时，
，该手机生产商应该选择方案2；
（2）因为
，该手机生产商将选择方案1，此时生产的手机的年度总成本为（亿元）.
市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为
，
，
（亿元），因为，所以手机生产商年销售额
的分布列为
|
|
|
|
|
|
| 0.4 | 0.4 | 0.2 |
所以
.
年利润期望值
（亿元）.
当
时，年利润期望
取得最大值40亿元.
又方案1的预期年利润期望值为
（亿元）.
因为
，因此这个年利润期望的最大值超过了预期年利润的数值.
3.
为虚数单位，
是虚数, 
是实数,且
,
.
（1）求
及
的取值范围；
（2）求
的最小值.
难度：
知识点：数系的扩充与复数的引入
使用次数：180
【答案】
解：（1）
，因为
是实数,
所以
,又
,所以
,所以
.
因为
,且,所以
.
（2）由题意知
,
所以
,当且仅当
时,等号成立,
所以
的最小值为1
4.
已
知函数
在
处取得极值.
（1）求和
的值以及函数
的极大值和极小值;
（2）过点
作曲线
的切线,求此切线的方程.
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：162
【答案】
解：（1）
，由题意可知是方程
的两根，可得
，
所以
，
时，
，
时，
，
时，，在
处取得极大值2，在
处取得极小值-2；
（2）易知点不在曲线上，设切点坐标为
，则有
，解得
，
所以切线的斜率为9，切线的方程为
5.
某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：
| 学习活跃的员工人数 | 学习不活跃的员工人数 | |
| 甲 | 18 | 12 |
| 乙 | 32 | 8 |
（1）根据表中数据判断能否有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；
（2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由。
参考公式：
，其中
.
参考数据：
，
，
.
难度：
知识点：统计
使用次数：192
【答案】
解：（1）
，
因为
，所以没有95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；
（2）设事件
为“第二周从乙部门随机抽取2人，这两人学习都不活跃”，若第二周保持第一周的活跃情况，则
，
因为
很小,所以事件一般不容易发生,现在发生了,则说明学习不活跃的人数增加了,即活跃率降低了.
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试题总数：
22
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
3
13.63%
容易
19
86.36%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
27.27%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
导数及其应用
4
18.18%
函数的应用
1
4.54%
数系的扩充与复数的引入
2
9.09%
统计
3
13.63%
推理与证明
2
9.09%
集合与函数的概念
2
9.09%
概率
3
13.63%
数列
1
4.54%
计数原理
2
9.09%
三角函数
1
4.54%
常用逻辑用语
1
4.54%
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