2020河南高中数学期末考试137704
高中
整体难度：中等
2020-10-01
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共8题)
添加该题型下试题
1.
为了打破国外的技术封锁，某公司很重视芯片的研究．为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量
（单位：亿元）对年销售额
（单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数型：①
，②
，其中
，
，
，
均为常数，
为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量
和年销售额
的数据，
，并对这些数据作了初步处理，得到了下侧的散点图及一些统计量的值．令
，
，
，经计算得如下数据：
|
|
|
|
|
|
|
| 20 | 66 | 770 | 200 | 460 | 4.20 |
|
|
|
|
|
| 3125000 | 21500 | 0.308 | 14 |
（Ⅰ）设
和
的相关系数为
，
和
的相关系数为
，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（Ⅱ）（ⅰ）根据（Ⅰ）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ⅱ）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数
，回归直线
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
；
②参考数据：
，
，
．
难度：
知识点：统计
使用次数：169
【答案】
解：（Ⅰ）
， 2分
4分
则
，因此从相关系数的角度，模型
的拟合程度更好 5分
（Ⅱ）（ⅰ）由，得
，即
．
由于
．
， 7分
∴
，
所以
8分
（ⅱ）下一年销售额需达到90亿元，即
，
代入得，
， 10分
又，所以
，
所以
，
所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元． 12分
2.
已知函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；
（Ⅱ）若存在实数
，对任意实数
，不等式
成立，求实数
的取值范围．
难度：
知识点：不等式
使用次数：147
【答案】
解：（Ⅰ）当时，不等式化为
．
则
或
或
， 3分
即
或
或
，
所以不等式的解集是
． -6分
（Ⅱ）当
时，
∴
8分
，
∴
． 10分
据题意，
，则
，
解得
，所以的取值范围是
． 12分
3.
在直角坐标系中，已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线
的极坐标方程为
，射线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；
（Ⅱ）若射线与曲线交于
、
两点，射线与曲线交于、
两点，求
面积的取值范围．
难度：
知识点：坐标系与参数方程
使用次数：142
【答案】
解：（Ⅰ）由（为参数）化为普通方程为
2分
，整理得极坐标方程为
5分
曲线是以
为圆心，2为半径的圆． 6分
（Ⅱ）令
，
8分
10分
∵
，∴
，∴
．
面积的取值范围为
12分
4.
对于命题
：存在一个常数
，使得不等式
对任意正数，
恒成立．
（Ⅰ）试给出这个常数的值（不需要证明）；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所得结论的条件下证明命题．
难度：
知识点：不等式
使用次数：143
【答案】
解：（Ⅰ）令
得：
，故
； 4分
（Ⅱ）先证明
．
∵
，
，要证上式，只要证
，
即证
，即证
，这显然成立．
∴． 8分
再证明
．
∵，，要证上式，只要证
，
即证，即证，这显然成立．
∴． 12分
5.
函数
．
（Ⅰ）求函数
的最小值；
（Ⅱ）若的最小值为，
，
，求证：
．
难度：
知识点：不等式
使用次数：103
【答案】
解：（Ⅰ）
， 3分
故当
时最小值为
6分
（Ⅱ）由①可知，
，
由柯西不等式得：
10分
∴，当且仅当
，
时等号成立 12分
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试题总数：
24
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
容易
17
70.83%
中等
6
25.0%
基础
1
4.16%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
8
33.33%
填空题
4
16.66%
选择题
12
50.0%
知识点统计
知识点
数量
占比
统计
5
20.83%
不等式
4
16.66%
坐标系与参数方程
4
16.66%
数系的扩充与复数的引入
2
8.33%
数列
1
4.16%
推理与证明
5
20.83%
算法初步
1
4.16%
框图
1
4.16%
基本初等函数I
1
4.16%
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