（1）（2）证明见解析；

【解析】

(1)先对函数求导得到,再分别求,,写出曲线在点处的切线方程,根据题意列出方程组,解方程组即可求得a的值；

(2)需要多次构造函数,利用函数的单调性、极值等解决问题.

【详解】

解：（1）由题意得的定义域为,,

则,

又,

所以曲线在点处的切线方程为,

即,

所以,解得.

（2）由（1）得,显然.

令,,

当时,,在上单调递增,无极值,不符合题意；

当时,,所以在上单调递增.

取b满足,则,

所以.

又,所以存在,使得,此时.

又当时,,,单调递减,

当时,,,单调递增,

所以为函数的极小值点,且,则,所以在上单调递减.又,,所以.

令.

所以当时,单调递增,所以,所以,

所以.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义、函数的极值点、不等式的证明等,考查考生利用导数的有关知识分析问题、解决问题的能力,推理论证能力和化归与转化能力.

本题以含参函数为依托,运用导数运算法则,选择合适的方法,经过推理、运算解决问题,体现数学抽象、数学运算等核心素养. 本题第（2）问的求解过程需要考生有清晰的解题思路,对考生的能力要求较高,试题的区分度较大.

（1）（2）

【解析】

(1)由点M在椭圆上,并结合,,可求出椭圆方程；

(2)由点M,N在椭圆上,可得,化简可求椭圆C的离心率.

【详解】

解：（1）由题意得,①

,所以,

所以,②

由①②可得,,

所以椭圆C的方程为.

（2）由题意得,,,设,,

因为点M在椭圆C上,所以,

所以.（ⅰ)

设直线,

联立,得,消去x并整理得,,

则,

,,（*)

所以,

将（*）代入上式化简得,,（ⅱ)

又

所以由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）得,,

所以,即,解得或.

又,所以,即椭圆C的离心率为.

【点睛】

本题考查椭圆的方程、椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.

（1）（2）存在；

【解析】

(1)利用数列的通项和前n项和之间的关系即可求出数列的通项公式,要注意检验时的情况；

(2)先根据数列是等差数列求出a的值,再求出,,最后利用裂项相消法求数列的前n项和,进而判断是否存在满足,则问题获解.

【详解】

解：（1）当时,.

当时,；

当时,.

经检验,不符合上式,

故数列的通项公式,

（2）当时,；

当时,.

因为数列是等差数列,所以,解得,

因为.

则,

故

所以

.

令,整理得,所以,

故存在满足题意.

【点睛】

本题主要考查数列的通项和前n项和之间的关系,等差数列的判定,裂项相消法求和,考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力.

试题结合等差数列、裂项相消法求和考查数列的有关知识,也考查考生的观察能力、恒等变形能力等,其中渗透了数学运算、逻辑推理等核心素养.

易错警示：在利用数列的通项和前n项和之间的关系求数列的通项公式时,很多考生会根据直接求得结果,而忽略了此等式成立的前提是,遗漏了对的检验而出错,如本题第（1）问中就不符合的情况,因此需要将结果写成分段的形式.

（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1)连接CF并延长交BD于G,连接AG,首先根据三角形重心的性质可证,再根据线面平行的判定定理证明即可；

(2)先找到二面角的平面角,再求得AB,AD的长,根据等体积法求点D到平面ABC的距离,最后求直线AD与平面ABC所成角的余弦值.

【详解】

解：（1）连接CF并延长交BD于G,连接AG.

由题意易知,,所以.

因为平面ABD,平面ABD,

所以平面ABD.

（2）因为,,所以,,

所以是二面角的平面角,所以.

设,则,,

在中,由余弦定理得,得,

所以,.

过A作交CG的延长线于点H,则易知平面BCD,

因为,所以,

所以,

所以.

设点D到平面ABC的距离为h,又的面积,所以.

因为,所以,解得.

设直线AD与平面ABC所成的角为,

则,所以.

故直线AD与平面ABC所成角的余弦值为.

【点睛】

本题以三棱锥为载体考查线面平行的证明,线面角余弦值的求解,考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力等. 立体几何解答题的考查以空间中线面位置关系的证明、空间角的求解为主,证明线面位置关系时,不妨采取分析法,从要证的结论出发逐步递推到已知条件.如果利用空间向量法解题,要注意建立合适的空间直角坐标系.

（1）（2）

【解析】

(1)由题意得,利用二倍角公式可求出的值；

(2)利用余弦定理把条件中的角转化为边,可求出c的值,再利用余弦定理及可求出ab的值,最后利用三角形面积公式计算其面积.

【详解】

解：（1）由题意得,.

因为是以角C为顶角的等腰三角形,所以,

,

所以,所以.

因为是以角C为顶角的等腰三角形,所以,则.

因为,所以,

得.

（2）因为,

所以由余弦定理可得,

即,整理得,

则.

因为,所以.

因为,,所以.

则的面积.

【点睛】

本题考查余弦定理、二倍角公式以及三角形面积公式等,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.