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高中数学2020年年末周练知识点——圆与方程训练题(一)【含详解】
年级:高中
难度:中等
更新时间:2020-12-29
下载:196次
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一、选择题(共56题)
1.

已知圆的方程为,点在直线上,线段为圆的直径,则的最小值为()

A2                           B                         C3                           D

【答案】

B

【分析】

转化为,利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.

【详解】

.故选B.

【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算,考查点到直线距离公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.

组卷:142次
难度:中等
知识点:平面向量
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2.

直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则面积的取值范围是

A                   B                    C          D

【答案】

A

【解析】

分析:先求出A,B两点坐标得到再计算圆心到直线距离,得到点P到直线距离范围,由面积公式计算即可

详解:直线分别与轴交于两点

,

P在圆

圆心为(2,0),则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

故答案选A.

点睛:本题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题.

组卷:118次
难度:中等
知识点:圆与方程
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3.

的圆心到直线的距离为1,则  

A                      B                      C                       D2

【答案】

A

【解析】

试题分析:由配方得,所以圆心为,因为圆的圆心到直线的距离为1,所以,解得,故选A.

【考点】 圆的方程,点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况:相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.

组卷:197次
难度:容易
知识点:圆与方程
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4.

若过点(21)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为(   

A                       B                     C                    D

【答案】

B

【分析】

由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为,可得圆的半径为,写出圆的标准方程,利用点在圆上,求得实数的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.

【详解】

由于圆上的点在第一象限,若圆心不在第一象限,

则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,

设圆心的坐标为,则圆的半径为

圆的标准方程为.

由题意可得

可得,解得

所以圆心的坐标为

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为

所以,圆心到直线的距离为.

故选:B.

【点睛】

本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.

组卷:117次
难度:容易
知识点:圆与方程
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5.

在平面直角坐标系中为点到直线的距离变化时的最大值为(  

A                                                             B

C                                                             D

【答案】

C

【分析】

为单位圆上一点,而直线过点则根据几何意义得的最大值为.

【详解】

为单位圆上一点,而直线过点

所以的最大值为,选C.

【点睛】

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.

组卷:165次
难度:偏难
知识点:直线与方程
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6.

与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是(

A

B

C

D

【答案】

A

【解析】

试题分析:设圆上任一点为中点为,根据中点坐标公式得,,因为在圆上,所以,即,化为,故选A.

考点:1、圆的标准方程;2逆代法求轨迹方程.

【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、逆代法求轨迹方程,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可;定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可;逆代法,将代入.本题就是利用方法的轨迹方程的.

组卷:183次
难度:容易
知识点:圆与方程
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7.

已知M,直线上的动点,过点M的切线,切点为,当最小时,直线的方程为(   

A       B      C       D

【答案】

D

【分析】

由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点共圆,且,根据 可知,当直线时,最小,求出以 为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线的方程.

【详解】

圆的方程可化为,点 到直线的距离为,所以直线 与圆相离.

依圆的知识可知,四点四点共圆,且,所以,而

当直线时, ,此时最小.

,由解得,

所以以为直径的圆的方程为,即

两圆的方程相减可得:,即为直线的方程.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题.

组卷:134次
难度:中等
知识点:圆与方程
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8.

已知圆,直线,若直线上存在点,过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是( 

A                     B

C                                                   D

【答案】

D

【分析】

由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为,则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径,据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.

【详解】

C2,0),半径r,设Pxy),

因为两切线,如下图,PAPB,由切线性质定理,知:

PAACPBBCPAPB,所以,四边形PACB为正方形,所以,|PC|=2

则:,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.

直线过定点(0,-2),直线方程即

只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,

即:,解得:

即实数的取值范围是.

本题选择D选项.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系,轨迹方程的求解与应用,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

组卷:131次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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9.

已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线为切点,则直线经过定点.  

A                B                 C               D

【答案】

B

【解析】

可得以为直径的圆的方程两圆方程相减,可得其公共弦化为可得结果.

【详解】

是圆的切线,

是圆与以为直径的两圆的公共弦,

可得以为直径的圆的方程为

  ①

  ②   

 ①-

化为

可得总满足直线方程

过定点,故选B.

【点睛】

探索曲线过定点的常见方法有两种: 可设出曲线方程 ,然后利用条件建立等量关系进行消元(往往可以化为的形式,根据 求解),借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点,也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.

组卷:136次
难度:偏难
知识点:直线与方程
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10.

已知点在圆外,则直线与圆的位置关系是(    ).

A相切                      B相交                      C相离                      D不确定

【答案】

B

【分析】

由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.

【详解】

在圆外,

圆心到直线距离

直线与圆相交.

故选B.

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

组卷:124次
难度:容易
知识点:圆与方程
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11.

在圆内,过点的最短弦的弦长为

A                       B                     C                       D

【答案】

D

【解析】

先将圆的方程化为标准式,找到圆心和半径,过点的最短弦长是过点MOM垂直的弦,再根据垂径定理得到结果.

【详解】

,化简为:在圆的内部,记圆心为O点,则最短弦长是过点MOM垂直的弦,OM=根据垂径定理得到弦长为:=

故答案为:D.

【点睛】

这个题目考查的是圆的性质和应用,一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合来解决的,很少联立;在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值;涉及到圆的弦长或者切线长时,经常用到垂径定理.

组卷:199次
难度:中等
知识点:圆与方程
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12.

已知圆,圆分别为圆上的点,轴上的动点,则的最小值为(  )

A                     B                 C               D

【答案】

D

【分析】

求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A,以及半径,然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和,即可求得的最小值,得到答案.

【详解】

如图所示,圆关于轴的对称圆的圆心坐标,半径为1

的圆心坐标为,,半径为3

由图象可知,当三点共线时,取得最小值,

的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和,

故选D

 

【点睛】

本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解,以及两个圆的位置关系的应用,其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键,着重考查了数形结合法,以及推理与运算能力,属于基础题.

组卷:144次
难度:中等
知识点:圆与方程
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13.

已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直,

A                      B1                           C2                           D

【答案】

C

【详解】

试题分析:设过点的直线的斜率为,则直线方程,即,由于和圆相切,故,得,由于直线与直线,因此,解得,故答案为C.

考点:1、直线与圆的位置关系;2、两条直线垂直的应用.

组卷:156次
难度:基础
知识点:圆与方程
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14.

已知点是抛物线上的一动点,为抛物线的焦点,是圆上一动点,则的最小值为( 

A3                           B4                           C5                           D6

【答案】

B

【分析】

根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时,的值最小,根据圆的性质可知最小值为;根据抛物线方程和圆的方程可求得,从而得到所求的最值.

【详解】

如图所示,利用抛物线的定义知:

三点共线时,的值最小,且最小值为

抛物线的准线方程:

   

本题正确选项:

【点睛】

本题考查线段距离之和的最值的求解,涉及到抛物线定义、圆的性质的应用,关键是能够找到取得最值时的点的位置,从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.

组卷:169次
难度:中等
知识点:圆与方程
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15.

已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则(    )

A2                           B                     C6                           D

【答案】

C

【解析】

试题分析:直线l过圆心,所以,所以切线长,选C.

考点:切线长

组卷:105次
难度:中等
知识点:圆与方程
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16.

直线l与圆C交于AB两点,则当弦AB最短时直线l的方程为

A                                       B

C                                       D

【答案】

A

【分析】

先求出直线经过的定点,再求出弦AB最短时直线l的方程.

【详解】

由题得

所以直线l过定点P.

CPl时,弦AB最短.

由题得,

所以.

所以直线l的方程为.

故选A

【点睛】

本题主要考查直线过定点问题,考查直线方程的求法,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

组卷:200次
难度:中等
知识点:直线与方程
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17.

在曲线上运动,,且的最大值为,若的最小值为(    )

A1                           B2                           C3                           D4

【答案】

A

【分析】

由题意曲线为圆,表示曲线上的点到点的距离的平方结合圆的特征可得点由此可得

于是,故以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值

【详解】

曲线可化为表示圆心为,半径为的圆

可以看作点到点的距离的平方上一点的距离的最大值为,即点是直线与圆的离点最远的交点,

所以直线的方程为

,解得(舍去),

时,取得最大值

当且仅当时等号成立

故选A.

【点睛】

(1)解题时要注意几何法的合理利用,同时还要注意转化方法的运用,如本题中将

转化为两点间距离的平方,圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等

(2)利用基本不等式求最值时,若不等式不满足定值的形式,则需要通过拼凑的方式,将不等式转化为适合利用基本不等式的形式,然后再根据不等式求出最值

组卷:118次
难度:偏难
知识点:不等式
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18.

已知圆,过点(12)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(   

A1                                                              B2

C3                                                              D4

【答案】

B

【分析】

当直线和圆心与点的连线垂直时,所求的弦长最短,即可得出结论.

【详解】

化为,所以圆心坐标为,半径为

,当过点的直线和直线垂直时,圆心到过点的直线的距离最大,所求的弦长最短,此时

根据弦长公式得最小值为.

故选:B.

【点睛】

本题考查圆的简单几何性质,以及几何法求弦长,属于基础题.

组卷:148次
难度:中等
知识点:圆与方程
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19.

已知圆和两点,若圆上存在点,使得,则的最大值为(   

A7                           B6                           C5                           D4

【答案】

B

【解析】

由题意知,点P在以原点(00)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以,故选B.

考点:本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力.

组卷:130次
难度:中等
知识点:圆与方程
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20.

已知圆的半径为2,圆心在轴的正半轴上,直线与圆相切,则圆的方程为(    )

A                                B

C                                D

【答案】

D

【分析】

设圆心坐标为,根据圆与直线相切可求出,进而得到圆心和半径,于是可得圆的方程.

【详解】

由题意设圆心坐标为

与直线相切,

,解得a=2

圆心为,半径为

C的方程为(x22+y2=4,即

故选D

【点睛】

求圆的方程时要把握两点:一是求出圆心的坐标;二是求出圆的半径,然后再根据要求写出圆的方程即可,求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用,这样可以简化运算,提高解题的速度.

组卷:171次
难度:容易
知识点:圆与方程
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21.

已知点A,B,C在圆上运动,且ABBC,若点P的坐标为(20),则 的最大值为(

A6                           B7                           C8                           D9

【答案】

B

【解析】

由题意,AC为直径,所以 ,当且仅当点B为(-10)时,取得最大值7,故选B.

考点:直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知,圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到.圆周角为直角的弦为圆的半径,平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.

组卷:189次
难度:基础
知识点:圆与方程
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22.

已知点P是直线l上的动点,过点P引圆C的两条切线PMPNMN为切点,当的最大值为时,则r的值为  

A4                           B3                           C2                           D1

【答案】

D

【分析】

结合题意,找出该角取最大值的时候PC的长度,建立方程,计算结果,即可.

【详解】

结合题意,绘制图像,可知

取到最大值的时候,则也取到最大值,而,当PC取到最小值的时候,取到最大值,故PC的最小值为点C到该直线的最短距离,故,故,解得,故选D

【点睛】

考查了点到直线距离公式,关键找出该角取最大值的时候PC的长度,建立方程,难度偏难.

组卷:166次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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23.

已知为椭圆上一个动点,过点作圆的两条切线,切点分别是,则的取值范围为(  

A              B               C      D

【答案】

C

【详解】

分析利用圆的切线与圆心和切点连线垂直得到直角三角形的夹角为2α,通过解直角三角形求出的长;利用向量的数量积公式表示出再根据三角函数的二倍角公式化简函数,通过换元并结合基本不等式可求出最值.

详解:如图的夹角为2α

,当且仅当,即

时等号成立,

的最小值为

又点在椭圆的左端点时,的值最大,此时

.

的最大值为.

的取值范围为

故选C.

点睛:解答解析几何中的最值问题时,可选取适当的变量,将目标函数表示为该变量的函数,然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法,常用的方法有单调性法和基本不等式法.

组卷:130次
难度:偏难
知识点:平面向量
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24.

若点为圆的弦的中点,则弦所在直线的方程为 ( 

A                                         B

C                                          D

【答案】

C

【分析】

由题意,求出圆的标准方程,再求出圆心与点p确定直线的斜率为,再利用垂径定理求得弦AB直线斜率,再用点斜式求出方程.

【详解】

的标准方程为

又因为点为圆的弦AB的中点,

圆心与点P确定直线的斜率为

故弦AB所在直线的斜率为2

所以直线AB的直线方程:y-1=2x-1

2x-y-1=0

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的综合知识,对于直线和圆的相关知识点的熟练运用是解题的关键.属于较易题.

组卷:116次
难度:容易
知识点:直线与方程
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25.

已知椭圆的右焦点为,过点作圆的切线,若两条切线互相垂直,则椭圆的离心率为(   

A                        B                      C                      D

【答案】

D

【分析】

由题意画出图形,可得,两边平方后结合隐含条件得答案.

【详解】

如图,

 

由题意可得,,则2b2c2

2a2c2)=c2,则2a23c2

,即e

故选D

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.

组卷:172次
难度:中等
知识点:圆与方程
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26.

已知三点A(1,0),B(0, ),C(2,),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为(  )

A                                                            B

C                                                       D

【答案】

B

【详解】

B.

考点:圆心坐标

组卷:102次
难度:容易
知识点:圆与方程
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27.

若直线与圆相切,则   

A                 B                    C                       D

【答案】

C

【分析】

利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解.

【详解】

由题得圆的圆心坐标为(0,0),

所以.

故选C

【点睛】

本题主要考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.

组卷:194次
难度:基础
知识点:圆与方程
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28.

是圆 上任一点,则点到直线 距离的最大值(  

A4                           B6                           C                D

【答案】

B

【解析】

先求圆心到点(0,-1)的值d,则点P到直线 距离的最大值为d+r.

【详解】

由题得直线过定点(0-1),

所以圆心(-3,3)到定点的距离为

所以点P到直线 距离的最大值为5+1=6.

故答案为:B

【点睛】

本题主要考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.

组卷:126次
难度:中等
知识点:直线与方程
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29.

与圆的公共弦长为(   

A1                           B2                           C                       D

【答案】

D

【解析】

两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为,圆的半径,圆心到直线的距离,则弦长.故选

组卷:168次
难度:基础
知识点:圆与方程
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30.

过三点的圆交y轴于MN两点,则

A2                     B8                           C4                     D10

【答案】

C

【详解】

由已知得,所以,所以,即为直角三角形,其外接圆圆心为AC中点,半径为长为,所以外接圆方程为,令,得,所以,故选C

考点:圆的方程.

组卷:112次
难度:中等
知识点:圆与方程
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31.

与圆关于直线对称的圆的方程为(    

A                              B

C                              D

【答案】

A

【分析】

设所求圆的圆心坐标为,列出方程组,求得圆心关于的对称点,即可求解所求圆的方程.

【详解】

由题意,圆的圆心坐标

设所求圆的圆心坐标为,则圆心关于的对称点,

满足,解得

即所求圆的圆心坐标为,且半径与圆相等,

所以所求圆的方程为,故选A.

【点睛】

本题主要考查了圆的方程的求解,其中解答中熟记圆的方程,以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

组卷:146次
难度:中等
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32.

中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切,则双曲线的离心率是(   

A2              B2                 C             D

【答案】

A

【解析】

根据题意,由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程,再分焦点在xy轴上两种情况讨论,进而求得双曲线的离心率.

【详解】

设双曲线C的渐近线方程为y=kx,是圆的切线得:

得双曲线的一条渐近线的方程为 焦点在xy轴上两种情况讨论:
当焦点在x轴上时有:

当焦点在y轴上时有:

求得双曲线的离心率 2
故选:A

【点睛】

本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.解题的关键是:由圆的切线求得直线 的方程,再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式,从而解出双曲线的离心率的值.此题易忽视两解得出错误答案.

组卷:195次
难度:中等
知识点:圆与方程
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33.

均为任意实数,且,则 的最小值为(   

A                     B                        C                D

【答案】

D

【分析】

该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题,可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题,结合图形,可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决,从而求得切点坐标,即满足条件的点,代入求得结果.

【详解】

由题意可得,其结果应为曲线上的点与以为圆心,以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值,可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值,在曲线上取一点,曲线有在点M处的切线的斜率为从而有整理得,解得所以点满足条件,其到圆心的距离为故其结果为

故选D.

【点睛】

本题考查函数在一点处切线斜率的应用,考查圆的程,两条直线垂直的斜率关系,属中档题.

组卷:178次
难度:偏难
知识点:导数及其应用
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34.

若直线laxby10始终平分圆Mx2y24x2y10的周长,则(a2)2(b2)2的最小值为          

A                        B5                           C2                       D10

【答案】

B

【解析】

分析:由圆的方程得到圆心坐标,代入直线的方程得,再由表达式的几何意义,即可求解答案

详解:由直线始终平分圆的周长,则直线必过圆的圆心,

由圆的方程可得圆的圆心坐标

代入直线的方程可得

又由表示点到直线的距离的平方,

由点到直线的距离公式得

所以的最小值为,故选B.

点睛:本题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式应用,把转化为点到直线的距离的平方是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力

组卷:172次
难度:容易
知识点:直线与方程
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35.

已知圆,动圆满足与外切且与内切,若上的动点,且,则的最小值为(  

A                    B                     C                          D

【答案】

A

【解析】

,圆
动圆满足与外切且与内切,设圆的半径为
由题意得的轨迹是以( 为焦点,长轴长为16的椭圆,
其方程为 因为,即为圆 的切线,要的最小,只要最小,设,则  

  ,选A.

组卷:154次
难度:偏难
知识点:平面向量
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36.

已知分别是直线和圆上的动点,圆轴正半轴交于点,则的最小值为(  

A                         B                           C                    D

【答案】

C

【分析】

由题意画出图形,求出关于直线的对称点的坐标,再求出到圆心的距离,则答案可求.

【详解】

如图,圆的圆心为,半径.

设点关于的对称点为

解得.

连接,交直线于点,交圆于点

此时取得最小值为.

故选C.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系,考查了数形结合的思想方法和转化的思想方法,是中档题.

组卷:197次
难度:偏难
知识点:直线与方程
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37.

已知圆,则两圆的位置关系为(    )

A相离                      B外切                      C相交                      D内切

【答案】

D

【分析】

由题意求出两圆的圆心坐标和半径,利用圆心距和两圆的半径之间的关系,即可求解

【详解】

由题意,可知圆,即为,表示以为圆心,半径为1的圆,圆,即为,表示以为圆心,半径为3的圆,

由于两圆的圆心距等于等于两圆的半径之差,所以两圆相内切,故选D.

【点睛】

本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用,其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力

组卷:121次
难度:容易
知识点:圆与方程
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38.

已知圆,则过点的最短弦所在直线的方程是(  )

A                                       B

C                                           D

【答案】

D

【分析】

由题可知,当直线l与直线垂直时,所截得弦长最短,再由点斜式确定直线l的方程.

【详解】

由题可知,当直线l与直线垂直时,所截得弦长最短,

 P(1,2),C:x2+y2-4x-5=0,标准方程为

由点斜式得直线l方程为,即.

故选D.

【点睛】

本题考查求解直线方程的点斜式法,考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律,以及互相垂直的两直线斜率关系,考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.

组卷:186次
难度:容易
知识点:直线与方程
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39.

已知点,,在圆上运动,且,若点的坐标为,则的最大值为 ( 

A                          B                          C                          D

【答案】

C

【解析】

根据已知条件得知点关于原点对称,利用对称性得出

并设点,计算出向量,利用向量模的坐标公式,将问题转化为点到圆上一点的距离的最大值(即 加上半径)求出即可。

【详解】

的斜边,则为圆的一条直径,故必经过原点,

,即,设点

设点所以,

所以,,其几何意义为点到圆上的点的距离,

所以,,故选:C

【点睛】

本题考查向量模的最值问题,在解决这类问题时,可设动点的坐标为,借助向量的坐标运算,将所求模转化为两点的距离,然后利用数形结合思想求解,考查运算求解能力,属于难题。

组卷:195次
难度:偏难
知识点:平面向量
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40.

x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(  )

A2                           B                      C1                           D

【答案】

D

【解析】

圆心为,点到直线的距离为.故选D.

组卷:190次
难度:基础
知识点:直线与方程
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41.

上存在两点关于直线对称,则的最小值为

A8                           B9                           C16                         D18

【答案】

B

【解析】

由圆的对称性可得,直线必过圆心,所以.所以,当且仅当,即时取等号,故选B

组卷:119次
难度:中等
知识点:不等式
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42.

过三点的圆截直线所得弦长的最小值等于( 

A                     B                     C                     D

【答案】

B

【分析】

因为圆心在弦AC的中垂线上,所以设圆心P坐标为(a-2),再利用,求得,确定圆的方程.又直线过定点Q,则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直,然后利用勾股定理可求得弦长.

【详解】

解:设圆心坐标P为(a,-2),则r2,解得a=1,所以P1-2.又直线过定点Q-20),当直线PQ与弦垂直时,弦长最短,根据圆内特征三角形可知弦长直线被圆截得的弦长为

故选B

组卷:144次
难度:中等
知识点:圆与方程
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43.

已知复数,且,则的最大值为(  )

A                       B                       C                 D

【答案】

C

【分析】

将复数代入,化简后可知对应的点在圆.设过点的切线的方程为,利用圆心到直线的距离等于半径求得的值,表示的集合意义是与点连线的斜率,由此求得斜率的最大值.

【详解】

解:复数,且

设圆的切线,则

化为,解得

的最大值为

故选C

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算,考查化归与转化的数学思想方法,考查直线和圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题.

组卷:127次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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44.

若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是(   )

A               B                  C                  D

【答案】

C

【解析】

由题意得圆心为半径为

圆心到直线的距离为

由直线与圆有公共点可得

,即,解得

实数a取值范围是

C.

组卷:160次
难度:容易
知识点:圆与方程
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组卷/试题篮
45.

已知点,点是圆上的动点,点是圆上的动点,则的最大值为(   

A                         B                         C                          D

【答案】

D

【分析】

由于两圆不在直线的同侧,先做出圆关于直线对称的圆,把转化为,若最大,必须最大,最小.

【详解】

如图:

依题意得点在直线上,

关于直线对称的点,

在圆关于直线对称的圆上,

,设圆的圆心为

因为

所以,当五点共线,在线段上,在线段上时=成立.

因此,的最大值为4.

【点睛】

本题主要考查圆与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.

组卷:150次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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46.

已知直线lyxm与曲线有两个公共点,则实数m的取值范围是(  )

A           B            C               D

【答案】

B

【分析】

由曲线表示一个半圆,直线表示平行于的直线,作出图象,利用数形结合思想,即可求解.

【详解】

根据题意,可得曲线表示一个半圆,直线表示平行于的直线,

其中表示在轴上的截距,

作出图象,如图所示,

从图中可知之间的平行线与圆有两个交点,轴上的截距分别为

所以实数的取值范围是,故选B.

 

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中作出曲线的图象和明确直线表示平行于的直线,其中表示在轴上的截距,结合图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想的应用,属于中档试题.

组卷:111次
难度:中等
知识点:圆与方程
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47.

已知椭圆的一个焦点是圆的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(      )

A                 B                  C                 D

【答案】

D

【解析】

化为一般式可得故其圆心为椭圆的一个焦点为,得短轴长为,得,∴,可得椭圆的左顶点为故选D.

组卷:182次
难度:中等
知识点:圆与方程
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48.

已知点为直线上的一点分别为圆与圆上的点,的最大值为(   )

A4                           B5                           C6                           D7

【答案】

C

【分析】

求得关于直线的对称点为由对称性可得结合圆的几何性质,可得从而可得结果.

【详解】

求得关于直线的对称点为

解得

由对称性可得

由于

的最大值为故选C.

【点睛】

本题主要考查圆的方程与性质、点关于直线对称问题以及解析几何求最值,属于中档题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将解析几何中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

组卷:128次
难度:偏难
知识点:直线与方程
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49.

已知圆,圆与圆关于直线对称,则圆的方程为(

A                             B

C                             D

【答案】

B

【解析】

试题分析:在圆上任取一点,则此点关于直线的对称点在圆,所以有,即,所以答案为,故选B.

考点:曲线关于直线的对称曲线方程的求法.

组卷:160次
难度:中等
知识点:直线与方程
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50.

已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是(   

A内切                      B相交                      C外切                      D相离

【答案】

B

【解析】

化简圆到直线的距离

两圆相交. B

组卷:161次
难度:中等
知识点:圆与方程
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组卷/试题篮
51.

在平面内,定点ABCD满足==,===–2,动点PM满足=1=,则的最大值是

A                       B                        C             D

【答案】

B

【解析】

试题分析:甴已知易得.为原点,直线轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知,得,又

,它表示圆上的点与点的距离的平方的,故选B.

【考点】平面向量的数量积运算,向量的夹角,解析几何中与圆有关的最值问题

【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模,由于结论是要求向量模的平方的最大值,因此我们要把它用一个参数表示出来,解题时首先对条件进行化简变形,本题中得出,且,因此我们采用解析法,即建立直角坐标系,写出点的坐标,同时动点的轨迹是圆,则,因此可用圆的性质得出最值.因此本题又考查了数形结合的数学思想.

组卷:193次
难度:偏难
知识点:平面向量
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52.

一条光线从点射出,经轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为(

A               B              C               D

【答案】

D

【详解】

由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点,设反射光线所在直线的斜率为,则反射光线所在直线方程为:,即:.

又因为光线与圆相切,所以,,

整理:,解得:,或,故选D

考点:1、圆的标准方程;2、直线的方程;3、直线与圆的位置关系.

组卷:188次
难度:中等
知识点:圆与方程
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53.

过点,且圆心在直线上的圆的方程是()

A                             B

C                             D

【答案】

C

【分析】

直接根据所给信息,利用排除法解题.

【详解】

本题作为选择题,可采用排除法,根据圆心在直线上,排除BD

在圆上,排除A

故选C

【点睛】

本题考查利用排除法选出圆的标准方程,属于基础题.

组卷:191次
难度:容易
知识点:圆与方程
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54.

已知圆,直线l,若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1,则b的取值范围为   

A                  B                   C          D

【答案】

D

【分析】

上恰有4个点到直线l的距离都等于1,所以圆心到直线l的距离小于1,利用点到直线距离求出b的取值范围.

【详解】

因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1,所以圆心到直线l的距离小于1,因此有,故本题选D.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了数形结合思想.

组卷:156次
难度:容易
知识点:圆与方程
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组卷/试题篮
55.

古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系,.设点的轨迹为,下列结论正确的是( )

A的方程为

B轴上存在异于的两定点,使得

C三点不共线时,射线的平分线

D上存在点,使得

【答案】

BC

【分析】

通过设出点P坐标,利用即可得到轨迹方程,找出两点即可判断B的正误,设出点坐标,利用与圆的方程表达式解出就存在,解不出就不存在.

【详解】

设点,则,化简整理得,即,故A错误;根据对称性可知,当时,,故B正确;对于C选项,,要证PO为角平分线,只需证明,即证,化简整理即证,设,则

,则证

,故C正确;对于D选项,设,可得,整理得,而点M在圆上,故满足,联立解得无实数解,于是D错误.故答案为BC.

【点睛】

本题主要考查阿氏圆的相关应用,轨迹方程的求解,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度较大.

组卷:186次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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组卷/试题篮
56.

设椭圆的左右焦点为上的动点,则下列结论正确的是(   

A.                                

B离心率

C面积的最大值为                   

D以线段为直径的圆与直线相切

【答案】

AD

【分析】

根据椭圆的定义判断A选项正确性,根据椭圆离心率判断B选项正确性,求得面积的最大值来判断C选项的正确性,求得圆心到直线的距离,与半径比较,由此判断D选项的正确性.

【详解】

对于A选项,由椭圆的定义可知,所以A选项正确.

对于B选项,依题意,所以,所以B选项不正确.

对于C选项,,当为椭圆短轴顶点时,的面积取得最大值为,所以C选项错误.

对于D选项,线段为直径的圆圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,也即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段为直径的圆与直线相切,所以D选项正确.

综上所述,正确的为AD.

故选:AD

【点睛】

本小题主要考查椭圆的定义和离心率,考查椭圆的几何性质,考查直线和圆的位置关系,属于基础题.

组卷:101次
难度:容易
知识点:圆与方程
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二、解答题(共28题)
1.

在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

1)求的直角坐标方程;

2)若有且仅有三个公共点,求的方程.

【答案】

(1) .

(2) .

【解析】

分析:(1)就根据以及将方程中的相关的量代换,求得直角坐标方程

(2)结合方程的形式,可以断定曲线是圆心为,半径为的圆,是过点且关于轴对称的两条射线通过分析图形的特征,得到什么情况下会出现三个公共点,结合直线与圆的位置关系,得到k所满足的关系式,从而求得结果.

详解:(1)的直角坐标方程为

(2)由(1)知是圆心为,半径为的圆

由题设知,是过点且关于轴对称的两条射线轴右边的射线为轴左边的射线为由于在圆的外面,故有且仅有三个公共点等价于只有一个公共点且有两个公共点,或只有一个公共点且有两个公共点

只有一个公共点时,所在直线的距离为,所以,故

经检验,当时,没有公共点;当时,只有一个公共点,有两个公共点

只有一个公共点时,所在直线的距离为,所以,故

经检验,当时,没有公共点;当时,没有公共点

综上,所求的方程为

点睛该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题,在解题的过程中,需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系,以及曲线相交交点个数结合图形,将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件,从而求得结果.

组卷:122次
难度:中等
知识点:圆与方程
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2.

设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线交于两点,

    (1)求的方程;

    (2)求过点且与的准线相切的圆的方程.

【答案】

(1) y=x–1,(2)

【详解】

分析:(1)根据抛物线定义得,再联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理代入求出斜率,即得直线的方程;(2)先求AB中垂线方程,即得圆心坐标关系,再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系,解方程组可得圆心坐标以及半径,最后写出圆的标准方程.

详解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).

A(x1,y1),B(x2,y2).

 

所以

由题设知解得k=–1(舍去),k=1.

因此l的方程为y=x–1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则

解得

因此所求圆的方程为

点睛:确定圆的方程方法

(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.

(2)待定系数法

若已知条件与圆心和半径有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组,从而求出的值;

若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于DEF的方程组,进而求出DEF的值.

组卷:160次
难度:中等
知识点:圆与方程
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3.

在平面直角坐标系中,的参数方程为为参数),过点且倾斜角为的直线交于两点.

(1)求的取值范围;

(2)求中点的轨迹的参数方程.

【答案】

(1)

(2)为参数,

【解析】

分析:(1)由圆与直线相交,圆心到直线距离可得.

(2)联立方程,由根与系数的关系求解

详解:(1)的直角坐标方程为

时,交于两点

时,记,则的方程为交于两点当且仅当,解得,即

综上,的取值范围是

(2)的参数方程为为参数,

对应的参数分别为,则,且满足

于是又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是 为参数,

点睛:本题主要考查直线与圆的位置关系,圆的参数方程,考查求点的轨迹方程,属于中档题.

组卷:169次
难度:中等
知识点:圆与方程
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4.

如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为

1)求椭圆C及圆O的方程;

2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.

若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;

直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.

【答案】

1;(2)

【解析】

分析:(1)根据条件易得圆的半径,即得圆的标准方程,再根据点在椭圆上,解方程组可得a,b,即得椭圆方程;(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程,再根据直线与椭圆相切得另一方程,解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长,再结合中方程组,利用求根公式以及两点间距离公式,列方程,解得切点坐标,即得直线方程.

详解:解:(1)因为椭圆C的焦点为

可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,

所以,解得

因此,椭圆C的方程为

因为圆O的直径为,所以其方程为

(2)设直线l与圆O相切于,则

所以直线l的方程为,即

,消去y,得

.(*)

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,

所以

因为,所以

因此,点P的坐标为

因为三角形OAB的面积为,所以,从而

由(*)得

所以

因为

所以,即

解得舍去),则,因此P的坐标为

综上,直线l的方程为

点睛:直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法:一是设出点的坐标,运用设而不求思想求解;二是设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理求出交点坐标,适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.

组卷:178次
难度:中等
知识点:圆与方程
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5.

已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.

(1)k的取值范围;

(2)=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

【答案】

1;(22

【解析】

试题分析:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围.

2)由题意可得,经过点MNA的直线方程为y=kx+1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解

试题解析:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,

设过点A01)的直线方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0

由已知可得圆C的圆心C的坐标(23),半径R=1

故由,解得:

故当,过点A01)的直线与圆C相交于MN两点.

2)设MN

由题意可得,经过点MNA的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程

可得

,解得 k=1

故直线l的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.所以|MN|=2

考点:直线与圆的位置关系;平面向量数量积的运算

组卷:168次
难度:中等
知识点:圆与方程
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6.

O为坐标原点,动点M在椭圆C上,过Mx轴的垂线,垂足为N,点P满足.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点在直线上,且.证明过点P且垂直于OQ的直线C的左焦点F.

【答案】

(1);(2)见解析.

【详解】

1)设Pxy),M,N),

.

因为M)在C上,所以.

因此点P的轨迹为.

由题意知F-1,0),设Q-3t),Pmn),则

.

-3m-+tn-=1,又由(1)知,故3+3m-tn=0.

所以,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线lC的左焦点F.

点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定定点是什么、定值是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.

组卷:145次
难度:中等
知识点:圆与方程
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7.

已知抛物线Cx2=−2py经过点(2−1).

)求抛物线C的方程及其准线方程;

)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点MN,直线y=−1分别交直线OMON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【答案】

()

()见解析.

【分析】

()由题意结合点的坐标可得抛物线方程,进一步可得准线方程;

()联立准线方程和抛物线方程,结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径,从而确定圆的方程,最后令x=0即可证得题中的结论.

【详解】

()将点代入抛物线方程:可得:

故抛物线方程为:,其准线方程为:.

()很明显直线的斜率存在,焦点坐标为

设直线方程为,与抛物线方程联立可得:.

故:.

,则

直线的方程为,与联立可得:,同理可得

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:,圆的半径为:

且:

则圆的方程为:

整理可得:,解得:

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【点睛】

本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

组卷:107次
难度:中等
知识点:圆锥曲线与方程
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8.

已知直线,圆的方程为.

1)判断直线与该圆的位置关系,

2)若直线与圆相交,求出弦长;否则,求出圆上的点到直线的最短距离.

【答案】

1)相交;(22

【解析】

分析:(1)判断直线与圆的位置关系只需计算圆心到直线的距离d与半径r的大小关系即可;(2)直线与圆的弦长可根据公式:

详解:

1)圆的方程为,即.

圆心为,半径为

则圆心到直线的距离.

直线与圆相交.

2)弦长.

点睛:考查直线与圆的位置关系,解本题要熟悉点到直线的距离公式和弦长公式,属于基础题.

组卷:117次
难度:中等
知识点:圆与方程
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9.

在直角坐标系xOy中,曲线x轴交于AB两点,点C的坐标为.m变化时,解答下列问题:

1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;

2)证明过ABC三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

【答案】

1)不会;(2)详见解析

【解析】

试题分析:(1)设,由AC⊥BC;由根与系数的关系得,矛盾,所以不存在;(2)求出过ABC三点的圆的圆心坐标和半径,即可得圆的方程,再利用垂径定理求弦长.

试题解析:(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:

,,满足,所以.

C的坐标为(01),故AC的斜率与BC的斜率之积为,所以不能出现AC⊥BC的情况.

2BC的中点坐标为(),可得BC的中垂线方程为.

由(1)可得,所以AB的中垂线方程为.

联立,可得

所以过ABC三点的圆的圆心坐标为(),半径

故圆在y轴上截得的弦长为,即过ABC三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略:

1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:

(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.

组卷:127次
难度:中等
知识点:圆与方程
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10.

已知点,圆.

1)求过点且与圆相切的直线方程;

2)若直线与圆相交于两点,且弦的长为,求实数的值.

【答案】

1;(2.

【分析】

1)考虑切线的斜率是否存在,结合直线与圆相切的的条件d=r,直接求解圆的切线方程即可.

2)利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系,列出方程,求解a即可.

【详解】

1)由圆的方程得到圆心,半径.

当直线斜率不存在时,直线与圆显然相切;

当直线斜率存在时,设所求直线方程为,即

由题意得:,解得

方程为,即.

故过点且与圆相切的直线方程为.

2弦长,半径为2.

圆心到直线的距离

解得.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查切线方程的求法,考查了垂径定理的应用,考查计算能力.

组卷:163次
难度:中等
知识点:圆与方程
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11.

已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线lCA,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.

(1)证明:坐标原点O在圆M上;

(2)设圆M过点,求直线l与圆M的方程.

【答案】

(1)证明见解析;(2) .

【详解】

1)设.

可得,则.

,故.

因此的斜率与的斜率之积为,所以.

故坐标原点在圆.

2)由(1)可得.

故圆心的坐标为,圆的半径.

由于圆过点,因此,故

由(1)可得.

所以,解得.

时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为.

时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆 的方程为.

【名师点睛】

直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题,可以利用点差法,但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.

组卷:140次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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12.

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点

1)求圆的圆心坐标;

2)求线段的中点的轨迹的方程;

3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.

【答案】

1;(2;(3)存在,

【分析】

1)通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论;(2)设当直线的方程为y=kx,通过联立直线与圆的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线与圆的方程,利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点(40)决定的直线斜率,即得结论

【详解】

1)由

的圆心坐标为

2)设,则

为弦中点即



线段的中点的轨迹的方程为

3)由(2)知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧(如下图所示,不包括两端点),且,又直线过定点

当直线与圆相切时,由,又,结合上图可知当时,直线与曲线只有一个交点.

考点:1.轨迹方程;2.直线与圆相交的位置关系;3.圆的方程

组卷:155次
难度:中等
知识点:圆与方程
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13.

已知点在圆上运动,且存在一定点,点为线段的中点.

1)求点的轨迹的方程;

2)过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点,是否存在实数使得,并说明理由.

【答案】

1;(2)见解析.

【解析】

分析:(1)由中点坐标公式,可得.点在圆上,据此利用相关点法可得轨迹方程为.

(2)设,联立直线与圆的方程可得

由直线与圆有两个交点可得,结合韦达定理可得..解得1,不合题意,则不存在实数使得.

详解:(1)由中点坐标公式,得

.

在圆上运动,

整理,得.

的轨迹的方程为.

(2)设,直线的方程是

代入圆.

可得

,得

 .

.

解得1,不满足.

不存在实数使得.

点睛:与圆有关的探索问题的解决方法:

第一步:假设符合要求的结论存在.

第二步:从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解.

第三步:确定符合要求的结论存在或不存在.

第四步:给出明确结果.

第五步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范.

组卷:195次
难度:中等
知识点:圆与方程
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14.

如图,已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切与圆外切.

求动圆圆心的轨迹的方程;

过直线上的点作圆的两条切线,设切点分别是,若直线与轨迹交于两点,求的最小值.

【答案】

(1)(2)

【分析】

)设动圆的半径为由题动圆与圆内切,与圆外切,则

,由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,进而得到动圆圆心的轨迹的方程;

设直线上任意一点的坐标是,切点坐标分别是

;则经过点的切线斜方程是同理经过点的切线方程是,又两条切线相交于 .可得经过两点的直线的方程是分类讨论分别求出的值,即可得到的最小值.

【详解】

)设动圆的半径为动圆与圆内切,与圆外切,

,且.于是,

所以动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.从而,

所以.故动圆圆心的轨迹的方程为

设直线上任意一点的坐标是,切点坐标分别是

;则经过点的切线斜率,方程是

经过点的切线方程是,又两条切线相交于 .

    则有,所以经过两点的直线的方程是

时,有,则

时,联立,整理得

坐标分别为,则

所以

综上所述,当时,有最小值

【点睛】

本题考查点的轨迹的求法,考查直线与圆、椭圆的位置关系,属中档题.

组卷:175次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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15.

如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为1 圆心在.

1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线方程;

2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.

【答案】

1;(2.

【分析】

1)两直线方程联立可解得圆心坐标,又知圆的半径为,可得圆的方程,根据点到直线距离公式,列方程可求得直线斜率,进而得切线方程;(2)根据圆的圆心在直线上可设圆的方程为,由,可得的轨迹方程为,若圆上存在点,使,只需两圆有公共点即可.

【详解】

1)由得圆心

的半径为1

的方程为:

显然切线的斜率一定存在,设所求圆的切线方程为,即

所求圆的切线方程为

2的圆心在直线上,所以,设圆心

则圆的方程为

,则,整理得,设为圆

所以点应该既在圆上又在圆上,即圆和圆有交点,

,得

,得

综上所述,的取值范围为

考点:1、圆的标准方程及切线的方程;2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.

【方法点睛】

本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题(2)巧妙地将圆上存在点,使问题转化为,两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.

组卷:185次
难度:中等
知识点:圆与方程
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16.

已知圆内一点,直线过点且与圆交于两点.

(1)求圆的圆心坐标和面积;

(2)若直线的斜率为,求弦的长;

(3)若圆上恰有三点到直线的距离等于,求直线的方程

【答案】

(1)见解析;(2);(3),或

【分析】

(1)化圆的一般式为标准方程:得出圆的圆心坐标为,半径即可.

(2)先求圆心到直线的距离为,再利用半径,距离,半弦长构成直角三角形求解即可.

3)圆上恰有三点到直线的距离等于等价于圆心到直线的距离为,利用点到直线的距离公式求解

【详解】

(1)的圆心坐标为,半径,面积为

(2)直线的方程为,即

圆心到直线的距离为

(3)因圆上恰有三点到直线的距离等于转化为

则圆心到直线的距离为

当直线垂直于轴时,显然不合题意;

设直线的方程为,即

,解得

故直线的方程为,或

【点睛】

利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法,圆心到直线的距离半径弦长之间的关系为设点直线方程为点到直线的距离公式为.

组卷:172次
难度:中等
知识点:圆与方程
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17.

已知圆C,直线l过定点

1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;

2)若直线l与圆C相交于PQ两点,求的面积的最大值,并求此时直线l的方程.

【答案】

1

【分析】

(1)通过直线的斜率存在与不存在两种情况,利用直线的方程与圆C相切,圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程;

(2)设直线方程为,求出圆心到直线的距离、求得弦长,得到的面积的表达式,利用二次函数求出面积的最大值时的距离,然后求出直线的斜率,即可得到直线的方程.

【详解】

(1若直线l1的斜率不存在,则直线l1x1,符合题意

 若直线l1斜率存在,设直线l1的方程为,即

由题意知,圆心(34)到已知直线l1的距离等于半径2,即: ,解之得 所求直线l1的方程是.

(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0, 设直线方程为

则圆心到直线l1的距离 

∵△CPQ的面积 

                 =

d时,S取得最大值2.    

       ∴ k1 k7

所求直线l1方程为 xy107xy70 .

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到直线与圆相切,圆的弦长公式,以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查,其中熟记直线与圆的位置关系的应用,合理准确计算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.

组卷:106次
难度:中等
知识点:圆与方程
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组卷/试题篮
18.

在平面直角坐标系中,的顶点分别为.

1)求外接圆的方程;

2)若直线经过点,且与圆相交所得的弦长为,求直线的方程.

【答案】

1;(2

【分析】

1)先设圆的方程为,根据圆三点,列出方程组,即可求出结果;

2)分直线的斜率不存在与存在两种情况,分别用代数法联立直线与圆的方程,结合弦长公式求解,即可得出结果.

【详解】

1)设圆的方程为

因为圆三点,

所以有,解得

外接圆的方程为

.

2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为

联立

,此时弦长为,满足题意;

当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即

由于圆心到该直线的距离为

,解得

直线的方程为,即.

综上可得,直线的方程为.

【点睛】

本题主要考查求圆的方程,以及已知弦长求直线方程的问题,通常需要联立直线与圆的方程,结合弦长公式求解,属于常考题型.

组卷:196次
难度:容易
知识点:圆与方程
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19.

已知圆C,点P坐标为,过点P作圆C的切线,切点为AB

 

求直线PAPB的方程;

求过P点的圆的切线长;

求直线AB的方程.

【答案】

1;(2;(3

【分析】

(1)设过点P的直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径求其斜率即可(2)中利用勾股定理求PA的长(3)利用ABPC垂直的性质求出其斜率,由点斜式写出直线方程.

【详解】

(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,

设切线方程为,.

则圆心到直线的距离为,

,

,∴.

所求直线的切线方程为,

.

(2).,

,,

,

,

过点的圆的切线长为.

(3).直线的方程为.

【点睛】

本题考查直线与圆相切的性质,以及切线的相关平面几何性质,属于中档题.解决此类问题要注意对初中学习的圆的平面几何性质灵活使用.

组卷:110次
难度:中等
知识点:圆与方程
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20.

已知圆,直线.

1)当为何值时,直线与圆相切.

2)当直线与圆相交于两点,且时,求直线的方程.

【答案】

1;(2.

【分析】

1)将圆的方程化为标准形式,得出圆的圆心坐标和半径长,利用圆心到直线的距离等于半径,可计算出实数的值;

2)利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距,利用点到直线的距离公式可求得实数的值,进而可得出直线的方程.

【详解】

1)圆的标准方程为,圆心的坐标为,半径长为

当直线与圆相切时,则,解得

2)由题意知,圆心到直线的距离为

由点到直线的距离公式可得,整理得,解得.

因此,直线的方程为.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系,考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程,解答的核心就是圆心到直线的距离的计算,考查计算能力,属于中等题.

组卷:112次
难度:中等
知识点:圆与方程
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21.

C过点,且圆心在直线.

1)求圆C的方程;

2P为圆C上的任意一点,定点,求线段中点M的轨迹方程.

【答案】

1;(2.

【分析】

1)求得线段垂直平分线的方程,与直线方程联立,求得圆心的坐标,由求得半径,由此求得圆的方程.

2)设出点坐标,由此求得点坐标,将点的坐标代入圆的方程,化简求得点的轨迹方程.

【详解】

1)直线的斜率

所以的垂直平分线m的斜率为1.

的中点的横坐标和纵坐标分别为.

因此,直线m的方程为..

又圆心在直线上,所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组

解得

所以圆心坐标为,又半径

则所求圆的方程是.

2)设线段的中点

M为线段的中点,则

解得

代入圆C中得

即线段中点M的轨迹方程为.

【点睛】

本小题主要考查圆的方程的求法,考查动点轨迹方程的求法,属于中档题.

组卷:140次
难度:中等
知识点:圆与方程
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22.

已知直线,圆A,点

(1)求圆上一点到直线的距离的最大值;

(2)从点B发出的一条光线经直线反射后与圆有交点,求反射光线的斜率的取值范围.

【答案】

1;(2

【分析】

1)根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系,求得圆心到直线的距离,即可计算最大值;

2)设点关于直线直的对称点为,列出方程组,求的的值,得出对称点的坐标,进而设出直线的方程,利用,即可求解.

【详解】

1)圆心为,半径

 

直线与圆的位置关系为相离,

所以圆上一点到直线距离最大值为 

2)设点关于直线直的对称点为

     即反射线过点 

由题意反射线的斜率必存在,设方程为:

即: ,由 

整理得

解得

所以斜率的取值范围为

【点睛】

本题主要考查了圆的方程应用,以及直线与圆的位置关系的应用问题,其中解答中根据题意,合理转化,建立不等式关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.

组卷:141次
难度:中等
知识点:直线与方程
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23.

已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.

1)求斜率的取值范围;

2为坐标原点,求证:直线的斜率之和为定值.

【答案】

12)见解析

【分析】

1)根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.

2)联立直线与圆方程:.韦达定理得计算,化简得到答案.

【详解】

解:(1)直线的方程为:.

得圆心,半径.

直线与圆相交得,即.

解得.所以斜率的取值范围为.

2)联立直线与圆方程:.

消去整理得.

,根据韦达定理得.

.

直线的斜率之和为定值1.

【点睛】

本题考查了斜率的取值范围,圆锥曲线的定值问题,意在考查学生的计算能力.

组卷:113次
难度:偏难
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24.

已知圆,直线

1)判断直线与圆C的位置关系;

2)设直线与圆C交于AB两点,若直线的倾斜角为120°,求弦AB的长.

【答案】

(1)直线l与圆C必相交 (2)

【分析】

(1)判断直线过定点利用点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系;(2)根据直线的倾斜角为求出直线斜率以及直线的方程,利用弦长公式即可求弦的长.

【详解】

(1)直线l可变形为y-1=m(x-1),因此直线l过定点D(1,1),

=1<,所以点D在圆C内,则直线l与圆C必相交.

(2)由题意知m≠0,所以直线l的斜率k=m,又k=tan 120°=-,即m=-

此时,圆心C(0,1)到直线l: x+y--1=0的距离d=

又圆C的半径r=,所以|AB|=2=2

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式以及直线过定点问题,属于中档题. 已知直线方程,判断直线过定点主要形式有:(1)斜截式直线过定点;(2)点斜式直线过定点.

组卷:150次
难度:中等
知识点:圆与方程
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25.

如图,圆,点为直线上一动点,过点引圆的两条切线,切点分别为

1)若,求切线所在直线方程;

2)求的最小值;

3)若两条切线轴分别交于两点,求的最小值.

【答案】

1;(23

【分析】

1)设切线方程,利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解;

2)连接交于,利用,结合正余弦可得最值;

3)利用(1)的方法,得到的二次方程,结合根与系数关系,用含的式子表示去表示,可得最值.

【详解】

1)由题意,切线斜率存在,可设切线方程为,即

则圆心到切线的距离,解得

故所求切线方程为

2)连接交于点

,则

中,

3)设切线方程为,即的斜率为

故圆心到切线的距离,得

在切线方程中令可得

,此时,故的最小值为

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用,其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用,合理根据直线与圆的位置关系,列出相应的方程是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,试题综合性强,属于中档试题.

组卷:185次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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26.

已知关于直线对称,且圆心在轴上.

1)求的标准方程;

2)已知动点在直线上,过点的两条切线,切点分别为.

记四边形的面积为,求的最小值;

证明直线恒过定点.

【答案】

12证明见解析

【分析】

1)根据圆的一般式,可得圆心坐标,将圆心坐标代入直线方程,结合圆心在轴上,即可求得圆C的标准方程.

2根据切线性质及切线长定理,表示出的长,根据圆的性质可知当最小时,即可求得面积的最小值;设出M点坐标,根据两条切线可知MACB四点共圆,可得圆心坐标及半径,进而求得的方程,根据两个圆公共弦所在直线方程求法即可得直线方程,进而求得过的定点坐标.

【详解】

1)由题意知,

圆心在直线上,即

又因为圆心轴上,

所以

由以上两式得:

所以.

的标准方程为.

2如图,的圆心为,半径

因为的两条切线,

所以

又因为

根据平面几何知识,要使最小,只要最小即可.

易知,当点坐标为时,

.

此时.

设点的坐标为

因为

所以四点共圆.

其圆心为线段的中点

所在的圆为

所以的方程为:

化简得:

因为的公共弦,

所以,两式相减得

方程为:

时,

所以直线恒过定点.

【点睛】

本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用,圆中三角形面积问题的应用,直线过定点问题,综合性强,属于难题.

组卷:104次
难度:很难
知识点:直线与方程
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27.

在平面直角坐标系xOy,已知圆Px轴上截得线段长为2,y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

【答案】

【解析】

试题分析:(1)设,圆的半径为,则,可得圆心的轨迹方程;(2)设,则 ,又根据点到直线距离公式得,解出,进而可得圆的半径,求得圆的方程.

试题解析:(1)设,圆的半径为,由题设,从而,故的轨迹方程为

2)设,由已知得,又点在双曲线上,从而得.由,得,此时,圆的半径

,得,此时,圆的半径,故圆的方程为

考点:1.勾股定理及点到直线的距离公式;2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程.

【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可;定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可;逆代法,将代入.本题(1)就是利用方法的轨迹方程的.

组卷:147次
难度:中等
知识点:圆与方程
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28.

已知圆的圆心在轴上,且经过点

)求线段AB的垂直平分线方程;

)求圆的标准方程;

)过点的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程.

【答案】

;(;(.

【解析】

)利用垂直平分关系得到斜率及中点,从而得到结果;

)设圆的标准方程为,结合第一问可得结果;

)由题意可知:圆心到直线的距离为1,分类讨论可得结果.

【详解】

解:() 设的中点为,则

由圆的性质,得,所以,得.

所以线段的垂直平分线的方程是.                   

(II) 设圆的标准方程为,其中,半径为.

由圆的性质,圆心在直线上,化简得

所以 圆心                                  

                                     

所以 圆的标准方程为

(III) (I)中点,则,得

圆心到直线的距离.

(1) 的斜率不存在时,,此时,符合题意.    

(2) 的斜率存在时,设,即

由题意得,解得:

故直线的方程为,即

综上直线的方程

【点睛】

圆内一点为弦的中点时则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直解决圆的弦长有关问题,注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系。

组卷:197次
难度:容易
知识点:直线与方程
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三、填空题(共16题)
1.

直线与圆交于两点,则________

【答案】

【分析】

首先将圆的一般方程转化为标准方程,得到圆心坐标和圆的半径的大小,之后应用点到直线的距离求得弦心距,借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形,利用勾股定理求得弦长.

【详解】

根据题意,圆的方程可化为

所以圆的圆心为且半径是

根据点到直线的距离公式可以求得

结合圆中的特殊三角形,可知故答案为.

【点睛】

该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题,在解题的过程中,熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形,借助于勾股定理求得结果.

组卷:166次
难度:中等
知识点:圆与方程
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2.

在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为________

【答案】

3

【解析】

分析:先根据条件确定圆方程,再利用方程组解出交点坐标,最后根据平面向量的数量积求结果.

详解:设,则由圆心中点得易得,与联立解得点的横坐标所以.所以

因为,所以

点睛:以向量为载体求相关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.

组卷:199次
难度:中等
知识点:平面向量
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3.

已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则__________

【答案】

4

【分析】

由题,根据垂径定理求得圆心到直线的距离,可得m的值,既而求得CD的长可得答案.

【详解】

因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,

故答案为4

【点睛】

解决直线与圆的综合问题时,一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题;另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此,准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.

组卷:180次
难度:中等
知识点:圆与方程
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4.

设直线与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为________

【答案】

【解析】

因为圆心坐标与半径分别为,所以圆心到直线的距离,则,解之得,所以圆的面积,应填答案

组卷:196次
难度:中等
知识点:圆与方程
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5.

一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________.

【答案】

【解析】

设圆心为(0),则半径为,则,解得,故圆的方程为.

考点:椭圆的几何性质;圆的标准方程

组卷:184次
难度:中等
知识点:圆与方程
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6.

在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________

【答案】

【解析】

分析:由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.

详解:设圆的方程为,圆经过三点(00),(11),(20),则:

,解得:,则圆的方程为.

点睛:求圆的方程,主要有两种方法:

(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任意弦的中垂线上;两圆相切时,切点与两圆心三点共线.

(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.

组卷:106次
难度:容易
知识点:圆与方程
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7.

已知圆的圆心为,直线为参数)与该圆相交于两点,则的面积为___________.

【答案】

【分析】

由题意首先求得圆心到直线的距离,然后结合弦长公式求得弦长,最后求解三角形的面积即可.

【详解】

由题意可得圆的标准方程为:

直线的直角坐标方程为:,即

则圆心到直线的距离:

由弦长公式可得:

.

【点睛】

处理直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.

组卷:194次
难度:中等
知识点:圆与方程
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8.

已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点._________.

【答案】

4

【解析】

试题分析:由,得,代入圆的方程,整理得,解得,所以,所以.又直线的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,

【考点】直线与圆的位置关系

【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时,一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题;另一方面,由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密,因此,准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.

组卷:174次
难度:中等
知识点:圆与方程
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9.

已知为直线上一点,过作圆的切线,则切线长最短时的切线方程为__________

【答案】

【分析】

利用切线长最短时,取最小值找点:即过圆心作直线的垂线,求出垂足点.就切线的斜率是否存在分类讨论,结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程.

【详解】

设切线长为,则,所以当切线长取最小值时,取最小值,

过圆心作直线的垂线,则点为垂足点,此时,直线的方程为

联立,得,点的坐标为.

若切线的斜率不存在,此时切线的方程为,圆心到该直线的距离为,合乎题意;

若切线的斜率存在,设切线的方程为,即.

由题意可得,化简得,解得

此时,所求切线的方程为,即.

综上所述,所求切线方程为

故答案为

【点睛】

本题考查过点的圆的切线方程的求解,考查圆的切线长相关问题,在过点引圆的切线问题时,要对直线的斜率是否存在进行分类讨论,另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.

组卷:140次
难度:偏难
知识点:直线与方程
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10.

当直线被圆截得的弦最短时,的值为____________.

【答案】

【分析】

先求得直线过定点,分析可知当直线CM垂直时,直线被圆截得的弦长最短

进而利用斜率的关系即可求得m的值.

【详解】

直线的方程可化为

所以直线会经过定点解得定点坐标为C圆心坐标为

当直线CM垂直时,直线被圆截得的弦长最短

 ,

所以解方程得

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系,根据斜率关系求得参数的值,属于基础题.

组卷:159次
难度:中等
知识点:直线与方程
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11.

已知直线与曲线有两个不同的交点,则的取值范围是________

【答案】

【分析】

直线过定点,曲线表示圆心为原点,半径为2的圆的上半部分.画出图形,结合图形可得所求的范围.

【详解】

由题意得,直线过定点,曲线表示圆心为原点,半径为2的圆的上半部分(包括与轴的交点),画出图形如下图所示.

当直线,即直线与圆相切时,

则有,解得

结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时,则有

实数的取值范围是

故答案为

【点睛】

解决曲线交点个数、方程根的个数等关于个数的问题时,一般要结合图形(或函数的图象)求解,即利用数形结合的方法求解,考查数形结合思想的运用和转化能力,属于中档题.

组卷:173次
难度:中等
知识点:圆与方程
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12.

设点M,1),若在圆O:上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

由题意知:直线MN与圆O有公共点即可,即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可,如图,

OA⊥MN,垂足为A,在中,因为∠OMN=45,所以=

解得,因为点M,1),所以,解得,故的取值范围是

.

考点:本小题主要考查考查直线与圆的位置关系,考查数形结合能力和逻辑思维能力,考查同学们分析问题和解决问题的能力,有一定的区分度.

组卷:183次
难度:中等
知识点:圆与方程
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13.

,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是     

【答案】

5

【解析】

试题分析:易得.,则消去得:,所以点P在以AB为直径的圆上,,所以.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数,所以,点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.

【考点定位】1、直线与圆;2、重要不等式.

组卷:151次
难度:中等
知识点:不等式
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14.

如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A-10),B10),点PQ分别从点AB同时出发,圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,的最大值是_______.

【答案】

2

【分析】

利用转速是两倍关系得转角为两倍,设出后,推出,然后根据三角函数坐标定义可得两点的坐标,再用数量积公式计算,最后用正弦函数最值可得.

【详解】

,根据题意得,,且

依题意得

,当且仅当时,等号成立.故答案为2

【点睛】

本题考查了三角函数定义,向量数量积等概念本题根据题意求出依题意得是解决本题的关键.

组卷:140次
难度:中等
知识点:三角函数
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15.

在平面直角坐标系xOy中,A-12,0),B0,6),点P在圆Ox2+y2=50上,若·20,则点P的横坐标的取值范围是_________

【答案】

【解析】

,由,易得,由,可得,由P点在圆左边弧上,结合限制条件,可得点P横坐标的取值范围为

点睛:对于线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等,最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围.

组卷:187次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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16.

已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆相切于点,则___________.

【答案】

        

【分析】

本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率,进一步得到其方程,将代入后求得,计算得解.

【详解】

可知,把代入得,此时.

【点睛】

解答直线与圆的位置关系问题,往往要借助于数与形的结合,特别是要注意应用圆的几何性质.

组卷:197次
难度:容易
知识点:圆与方程
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试卷统计
试题总数:
100
总体难度:
中等
题型统计
大题类型
题目数
占比
选择题
56
56.00%
解答题
28
28.00%
填空题
16
16.0%
知识点统计
知识点
题目数
占比
平面向量
6
6.0%
圆与方程
72
72.0%
直线与方程
16
16.0%
不等式
3
3.0%
导数及其应用
1
1.0%
圆锥曲线与方程
1
1.0%
三角函数
1
1.0%
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