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江苏省盐城市2020届高三下学期两次调研模拟考试组合数学试卷含答案解析
年级:高中
难度:中等
更新时间:2020-12-31
下载:107次
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一、填空题(共28题)
1.

已知集合,集合,则______.

【答案】

【分析】

先化简集合,再根据交集运算法则求出.

【详解】

因为,,

所以,

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.

组卷:105次
难度:基础
知识点:集合与函数的概念
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2.

是虚数单位,复数是纯虚数,则实数的值为________.

【答案】

2

【分析】

对复数进行化简,然后根据纯虚数的概念,得到的值.

【详解】

复数

因为为纯虚数,所以, ,所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查复数的运算,根据复数的类型求参数的值,属于简单题.

组卷:189次
难度:容易
知识点:数系的扩充与复数的引入
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3.

在某次数学测验中,位学生的成绩如下:,他们的平均成绩为,则他们成绩的方差等于________.

【答案】

38

【分析】

根据平均成绩求出的值,根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可.

【详解】

位学生的成绩如下:78858269,他们的平均成绩为80

,解得:

则他们成绩的方差等于38.

故答案为:38

【点睛】

本题考查平均数和方差的定义,考查数据处理能力,求解时注意方差与标准差的区别.

组卷:150次
难度:容易
知识点:统计案例
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4.

,则方程有实根的概率为________.

【答案】

【分析】

由已知可得,解得,可知当时满足要求,再根据古典概型概率公式求解.

【详解】

方程有实根,

,解得

时满足要求,

则方程有实根的概率为.

故答案为:

【点睛】

本题考查了概率的计算,属于基础题.

组卷:147次
难度:基础
知识点:概率
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5.

如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为_______

【答案】

【解析】

由题设提供的算法流程图可知:,应填答案

组卷:161次
难度:中等
知识点:框图
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6.

已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且过点,则双曲线的焦距等于________.

【答案】

【分析】

根据题意得出,然后将点的坐标代入双曲线的标准方程,可求出的值,即可计算出双曲线的焦距.

【详解】

双曲线的渐近线方程为,由题意可得

所以,双曲线的标准方程为

将点的坐标代入双曲线的标准方程得,得

因此,双曲线的焦距为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查双曲线焦距的计算,同时也考查了双曲线渐近线方程的求解,要结合题意得出的值,考查运算求解能力,属于中等题.

组卷:125次
难度:容易
知识点:圆锥曲线与方程
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7.

已知等差数列的前n项和为.若的等差中项为8,则______

【答案】

2

【分析】

为等差数列,且,可得,又根据等差中项,可得,即可求出的值,代入公式,即可求解.

【详解】

因为,由等差数列的性质可得

的等差中项为8

所以,即

所以,即

所以

故答案为:2

【点睛】

本题考查了等差数列的性质,重点考查了等差数列的前n项和公式的应用,考查分析理解,计算化简的能力,属基础题.

组卷:169次
难度:容易
知识点:数列
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8.

如果命题为真命题,则实数m的取值范围是__________

【答案】

【分析】

由题意利用基本不等式可得,即可得出m的不等式,求解出m的范围.

【详解】

命题p为真命题,即当时,不等式恒成立,

又当时,

当且仅当,即时,取得最小值12

,解得

故答案为:

【点睛】

本题考查了根据命题的真假求参数的范围,考查了不等式恒成立问题,考查了利用基本不等式求和的最小值,属于基础题.

组卷:160次
难度:容易
知识点:常用逻辑用语
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9.

函数上的单调递减,则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】

首先求出函数的导数,依题意可得上恒成立,参变分离,根据余弦函数的性质求出参数的取值范围;

【详解】

解:因为

所以

因为函数上的单调递减,

所以上恒成立,

上恒成立,

因为上单调递减,所以

所以,即

故答案为:

【点睛】

本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围,利用导数研究函数的单调性,属于中档题.

组卷:103次
难度:中等
知识点:导数及其应用
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10.

边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状,其中BD分别为ACCE的中点,NGDCF的交点,则______

【答案】

【分析】

根据等边三角形的性质、平面向量的线性运算,用分别表示出,再求

【详解】

由已知得,所以.因为等边三角形的边长为2,所以

故答案为:

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、平面向量的线性运算,数量积的运算,考查学生的运算求解能力.

组卷:175次
难度:中等
知识点:平面向量
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11.

已知球的半径为,则它的外切圆锥体积的最小值为__________.

【答案】

【分析】

设出圆锥的高为,底面半径为,在截面中,由球与圆锥相切可设出底面和母线SB的切点分别为CD,接着由三角形的相似求得三者间的关系,然后将圆锥的体积表示成关于的函数,利用导函数求最值.

【详解】

设圆锥的高为,底面半径为

在截面图中,

根据圆锥与球相切可知,均为球与外切圆锥的切点,

,即

圆锥体积为

可得,则

时,时,

单调递减,在单调递增,

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了球的外切问题,圆锥的体积公式,导函数的实际应用问题,难度较大.

组卷:131次
难度:偏难
知识点:导数及其应用
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12.

定义符号函数,若函数,则满足不等式的实数的取值范围是__________

【答案】

【详解】

分析:根据分段函数,利用指数函数的性质,得到函数上是增函数,即可得到不等式,即可求解

详解:由函数,得

根据指数的性质可得函数上是增函数,

又由,则,解得

点睛:本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题,其中解答中函数的函数的单调性,转化为不等式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,对于解函数不等式:首先根据函数的单调性和奇偶性去掉,转化为具体的不等式(),即可求解.

组卷:173次
难度:中等
知识点:基本初等函数I
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13.

在平面直角坐标系中,已知圆,动点在直线上,过点分别作圆的切线,切点分别为,若满足的点有且只有两个,则实数的取值范围是________

【答案】

.

【分析】

设出点的坐标,将原问题转化为直线与圆相交的问题,求解关于b的不等式即可求得实数的取值范围.

【详解】

由题意O(0,0),O1(4,0).P(x,y),则

PB=2PA,

(x−4)2+y2=4(x2+y2),

x2+y2+=0,

圆心坐标为,半径为

动点P在直线x+y−b=0上,满足PB=2PA的点P有且只有两个,

直线与圆x2+y2+=0相交,

圆心到直线的距离

即实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查圆的方程及其应用,等价转化的数学思想,直线与圆是位置关系的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

组卷:195次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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14.

已知函数,若集合,则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】

,利用同角的三角函数的基本关系式化简可得,利用线段差的几何意义可得实数的取值范围.

【详解】

如图,

,当且仅当三点共线且之间时等号成立,

,故的最大值为.

因为集合,故,故.

故答案为:.

【点睛】

本题考虑无理函数的最值,对于无理函数的最值问题,首选方法是利用导数求其单调性,其次可利用几何意义来求最值,本题属于难题.

组卷:182次
难度:很难
知识点:三角函数
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15.

若集合,且,则实数的值为_______.

【答案】

【分析】

直接根据交集运算的定义求解即可.

【详解】

解:,且

故答案为:

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.

组卷:133次
难度:基础
知识点:集合与函数的概念
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16.

已知i为虚数单位,复数z满足z(3i)10,则的值为_______.

【答案】

【分析】

由复数的除法运算与求模长的计算公式求解即可.

【详解】

.

故答案为:

【点睛】

本题考查复数的除法运算,还考查了求复数的模,属于基础题.

组卷:159次
难度:基础
知识点:数系的扩充与复数的引入
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17.

从数字012中任取两个不同的数字构成一个两位数,则所得的两位数大于10的概率为_______.

【答案】

【分析】

本题是一个等可能事件的概率,列出基本事件总数,求出满足条件的事件,再根据古典概型的概率公式计算可得;

【详解】

解:从数字012中任取两个不同的数字构成一个两位数,有10,12,21,20,共4个,满足大于10的有3个,故概率

故答案为:

【点睛】

本题考查等可能事件的概率,解题的关键是理解事件两位数大于10确定此事件的计数方法,本题概率基本公式考查题,考查分析判断的能力,本题是一个基础题.

组卷:125次
难度:容易
知识点:概率
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18.

如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,图中小矩形从左向右所对应的区间依次为.若一个月以30天计算,估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为_______.

【答案】

12

【分析】

根据频率分布直方图,求出对应的频率与频数即可.

【详解】

解:根据频率分布直方图,得:

日销售量少于100个的频率为

则估计这家面包店一个月内日销售量少于100个的天数为:

故答案为:12

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率的应用问题,属于基础题.

组卷:135次
难度:容易
知识点:统计案例
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19.

执行如图所示的流程图,输出k的值为_______.

【答案】

4

【分析】

模拟执行程序,依次写出每次循环得到的的值,当时满足条件,退出循环,输出的值为4

【详解】

解:由题意,执行程序框图,可得

不满足条件

不满足条件

满足条件,退出循环,输出的值为4

故答案为:4

【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键,属于基础题.

组卷:164次
难度:容易
知识点:框图
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20.

若双曲线的渐近线为,则其离心率的值为_______.

【答案】

【分析】

利用渐近线斜率为和双曲线的关系可构造关于的齐次方程,进而求得结果.

【详解】

由渐近线方程可知:,即

(负值舍掉).

故答案为:.

【点睛】

本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题,关键是利用渐进线的斜率构造关于的齐次方程.

组卷:140次
难度:容易
知识点:圆锥曲线与方程
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21.

若三棱柱ABCA1B1C1的体积为12,点P为棱AA1上一点,则四棱锥PBCC1B1的体积为_______.

【答案】

8

【分析】

利用等体积法和切割法即可求解

【详解】

解析:

.

答案:8

【点睛】

本题考查棱柱和棱锥的体积问题,属于基础题

组卷:120次
难度:容易
知识点:空间几何体
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22.

2”函数的图象关于点(0)对称_______条件.(选填充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要之一).

【答案】

充分不必要

【分析】

根据充分条件与必要条件的定义求解即可.

【详解】

解:当2时,,故此时的图象关于点(0)对称;

而当的图象关于点(0)对称,则kZ

2”函数的图象关于点(0)对称的充分不必要条件;

故答案为:充分不必要.

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断,考查三角函数的对称性,属于基础题.

组卷:110次
难度:基础
知识点:常用逻辑用语
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23.

ABC中,CBABAC,则tanB的值为_______.

【答案】

2

【分析】

CBABAC

然后化简即可求解

【详解】

解析:由ABAC,得

,化简得

所以tanB的值为2.

答案:2

【点睛】

本题考查正弦定理,两角和的正弦公式,同角三角函数关系式,属于简单题

组卷:139次
难度:容易
知识点:三角函数
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24.

若数列的前n项和为,则的值为_______.

【答案】

299

【分析】

根据题意,利用通项公式求出,利用分组并项求和法求出,由此可求出答案.

【详解】

解:

故答案为:299

【点睛】

本题主要考查数列的分组并项法的求和公式,考查计算能力,属于基础题.

组卷:120次
难度:基础
知识点:数列
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25.

若集合PQ,则PQ表示的曲线的长度为_______.

【答案】

【分析】

作出的图象,得到PQ表示的曲线,利用圆的弧长即可求解.

【详解】

作出两曲线图像如下:

此时PQ表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧AB部分,

直线与圆心的距离,且r2

中,

曲线长度为:.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算,直线与圆的相交,二元一次不等式表示平面区域,属于中档题.

组卷:160次
难度:偏难
知识点:集合与函数的概念
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26.

若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点,则实数的最大值是_______.

【答案】

【分析】

由题意题目可转化方程有两个不等的正根,得,令,利用导数研究函数的单调性与最值,由此可得出答案.

【详解】

解:关于原点对称的点为

题目可转化为函数图像在第一象限内有两个交点,

即方程有两个不等的正根,得

,则

,由

函数上单调递增,在上单调递减,

故答案为:

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用,考查利用导数研究函数的单调性与最值,考查转化与化归思想,属于中档题.

组卷:129次
难度:中等
知识点:导数及其应用
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27.

ABC中,AB10AC15A的平分线与边BC的交点为D,点E为边BC的中点,若90,则的值是_______.

【答案】

【分析】

表示,代入已知条件求得,再计算即得.

【详解】

由角平分线定理可知,所以

因为,所以

所以

故答案为:.

【点睛】

本题考查平面向量的数量积,解题关键是以为基底,其他向量都用基底表示后再进行运算.

组卷:167次
难度:中等
知识点:平面向量
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28.

若实数xy满足4x24xy7y21,则7x24xy4y2的最小值是_______.

【答案】

【分析】

将式子化为为,讨论x0x0,将分子、分母同除,利用判别式即可求解.

【详解】

解析:

x0,原式的值为

x0,令

.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查了判别式法求最值,属于中档题.

组卷:141次
难度:中等
知识点:不等式
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二、解答题(共21题)
1.

如图,在四棱锥中,平面,过的平面分别与交于点

1)求证:平面

2)求证:

【答案】

1)见解析;(2)见解析

【详解】

分析:(1)由平面可得,结合可证平面.

2)先由证明平面,从而得到,故.

详解:(1)证明:∵在四棱锥中,平面平面

平面.

2

的平面分别与交于点,故平面平面

平面平面

平面平面

点睛: (1)线面垂直的判定可由线线垂直得到,注意线线是相交的,也可由面面垂直得到,注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.

2)线线平行的判定可以由线面平行得到,注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线,也可以由面面平行得到,注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.

组卷:185次
难度:中等
知识点:点 直线 平面之间的位置
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2.

的内角的对边分别为,已知.

1)求角

2)若点满足,求的长.

【答案】

1;(2

【分析】

1)解法一:对条件中的式子利用正弦定理进行边化角,得到的值,从而得到角的大小;解法二:对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边,得到的值,从而得到角的大小;解法三:利用射影定理相关内容进行求解.

2)解法一:在中把边和角都解出来,然后在中利用余弦定理求解;解法二:在中把边和角都解出来,然后在中利用余弦定理求解;解法三:将表示,平方后求出的模长.

【详解】

1)【解法一】由题设及正弦定理得

所以.

由于,则.

又因为

所以.

【解法二】

由题设及余弦定理可得

化简得.

因为,所以.

又因为

所以.

【解法三】

由题设

结合射影定理

化简可得.

因为.所以.

又因为

所以.

2)【解法1】由正弦定理易知,解得.

又因为,所以,即.

中,因为,所以

所以在中,

由余弦定理得

所以.

【解法2

中,因为,所以.

由余弦定理得.

因为,所以.

中,

由余弦定理得

所以.

【解法3

中,因为,所以.

因为,所以.

所以.

【点睛】

本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题,方法较多,难度不大,属于简单题.

组卷:144次
难度:容易
知识点:三角函数
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3.

已知椭圆C的离心率,焦距为2,直线l与椭圆C交于AB两点.

1)求椭圆C的标准方程;

2)若直线l过椭圆的右焦点F,且,求直线l方程.

【答案】

1;(2

【分析】

1)根据椭圆的离心率和焦距确定基本量,从而得到椭圆的方程;

2)设出直线的待定系数方程,与椭圆方程联立,根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解.

【详解】

解:(1)设椭圆的焦距为,则由

2)当直线l时,

不满足

所以设直线l

联立

,

故直线l,即

【点睛】

本题考查椭圆的概念与性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生的推理论证能力和运算求解能力,函数与方程思想,是中档题.

组卷:179次
难度:中等
知识点:圆锥曲线与方程
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4.

如图所示,某区有一块空地,其中.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.

1)当时,求防护网的总长度;

2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;

3)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?

【答案】

123)当且仅当时,的面积取最小值为

【分析】

1)根据题意可得,在中,利用余弦定理求出,从而可得,即,进而可得为正三角形,即求解.

2)设,利用三角形的面积公式,在中,利用正弦定理可得,从而,即,即求解.

3)设,由(2)知,在中,利用正弦定理可得,利用三角形的面积公式可得,再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.

【详解】

1中,

中,

由余弦定理,得

,即

为正三角形,所以的周长为

即防护网的总长度为.

2)设

,即

中,由,得

从而,即,由

,即.

3)设,由(2)知

又在中,由,得

当且仅当,即时,

的面积取最小值为.

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用,三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质,属于中档题.

组卷:194次
难度:中等
知识点:三角函数
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5.

设函数

1)当时,求函数图象在处的切线方程;

2)求的单调区间;

3)若不等式恒成立,求整数的最大值.

【答案】

1;(2)单调递增区间是,单调递减区间是;(32

【分析】

1)当时,可得,求出,即可求出切线方程;

2)求出,求出极值点,利用导函数的符号,判断函数的单调性即可;

3)当时,不等式恒成立,即:恒成立,等价于当时,恒成立;即恒成立,令,根据导数求其最值,即可求得答案.

【详解】

1)当时,

可得

可得:

所求切线方程为

2

.

,则.

时,

时,

的单调递增区间是,单调递减区间是.

3)当时,不等式恒成立

即:恒成立,

等价于当时,恒成立;

恒成立.

上单调递增.

上有唯一零点,且

上单调递减,在上单调递增,

故整数的最大值为.

【点睛】

本题主要考查了根据导数求函数单调区间和根据不等式恒成立求参数值,解题关键是掌握根据导数求函数单调区间的方法和构造函数求最值的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.

组卷:187次
难度:偏难
知识点:导数及其应用
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6.

对于若数列满足则称这个数列为数列”.

1)已知数列1, 数列”,求实数的取值范围;

2)是否存在首项为的等差数列数列”,且其前项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;

3)已知各项均为正整数的等比数列数列”,数列不是数列”,试判断数列是否为数列”,并说明理由.

【答案】

1;(2见解析;(3见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据题目中所定义的数列,只需同时满足,解不等式可解m范围.(2)由题意可知,若存在只需等差数列的公差,即<,代入n=1,n>1,矛盾.(3)设数列的公比为,满足数列,即只需最小项不是数列,为最小项,

所以,所以只能只有解分两类讨论数列

试题解析:()由题意得

解得

所以实数的取值范围是

假设存在等差数列符合要求,设公差为

由题意,均成立,

,

,

因为

所以矛盾,

所以这样的等差数列不存在.

)设数列的公比为

因为的每一项均为正整数,

所以在,“为最小项.

同理,,“为最小项.

数列,只需

又因为不是数列,为最小项,

所以,

由数列的每一项均为正整数,可得

所以

,

所以为递增数列,

所以

所以对于任意的都有

即数列数列.

,

因为

所以数列不是数列.

综上:,数列数列,

,数列不是数列.

点睛

对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化,这是解决此类的问题的关键.另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解,或夹逼在方程个数小于变量个数时,解出部分甚至全部参数.

组卷:154次
难度:偏难
知识点:数列
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7.

已知矩阵 ,求矩阵.

【答案】

【分析】

先求出矩阵的逆矩阵,再矩阵的乘法求出的乘积.

【详解】

设矩阵的逆矩阵为.

.

.

a=-1b0c0d.

从而的逆矩阵为.

所以.

【点睛】

本题考查求矩阵的逆矩阵和矩阵的乘法,属于基础题.

组卷:145次
难度:基础
知识点:矩阵与变换
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8.

在极坐标系中,已知圆和直线相交于两点,求线段的长.

【答案】

2

【解析】

分析两边同乘以利用 即可得圆的直角坐标方程,直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果.

详解直角坐标方程为,即

直线的直角坐标方程为

圆心到直线的距离

所以,

点睛利用关系式等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.

组卷:149次
难度:基础
知识点:坐标系与参数方程
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9.

,其中.

1)当,化简:;

2)当,,试比较的大小.

【答案】

12)答案见解析

【分析】

1)当,,因为,结合已知,即可求得答案;

2)当,,可得,,,故当,, ,化简可得:, 利用数学归纳法证明,即可求得答案;

【详解】

1)当,

,其中,

原式=

2)当,

,

,

,;

,,

,可得:

下面用数学归纳法证明:,()

,, ()成立.

假设,()式成立,

,

()式右边

故当,()式也成立.

综上①②,,

,;,.

【点睛】

解题关键是掌握对于研究与自然数相关组合数的问题,通常有三种处理方法:一是应用数学归纳法来加以研究;二是应用组合数的相关性质来加以研究;三是转化为函数问题来加以研究,考查了分析能力和计算能力,属于难题.

组卷:126次
难度:偏难
知识点:不等式选讲
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10.

一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了份血液样本,其中只有1份呈阳性,并设计了如下混合检测方案:先随机对其中份血液样本分别取样,然后再混合在一起进行检测,若检测结果为阴性,则对另外3份血液逐一检测,直到确定呈阳性的血液为止;若检测结果呈阳性,测对这份血液再逐一检测,直到确定呈阳性的血液为止.

1)若,求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率;

2)若,宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为

的概率分布;

.

【答案】

12详见解析

【分析】

1)不论第一次检测结果如何,都要对含有21阳得血液样本进行逐一检测,故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性,第3次检测的是阳性,根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率;

2)根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算34的概率,得出分布列和数学期望.

【详解】

解:(1)在时,恰好在第三次时检测出呈阳性血液,说明其中三份血液中的其中一份呈阳性,并且对含阳性血液的一组进行检测时,前两次检测出血液为阴性,或第一次为阴性第二次为阳性.

2时,

同理,当时,

的分布列为:

 

 2

 3

 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的概率计算,离散型随机变量及其分布列与期望的计算,属于中档题.

组卷:130次
难度:偏难
知识点:概率
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11.

若函数(M000)的最小值是﹣2,最小正周期是2,且图象经过点N(1).

1)求的解析式;

2)在ABC中,若,求cosC的值.

【答案】

1.2

【分析】

1)利用三角函数的性质:最值求出M,最小正周期求出w,特殊点代入求出,即可求出解析式.

2)首先利用解析式求出,再利用同角三角函数的基本关系求出,然后结合三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解.

【详解】

解:(1)因为的最小值是﹣2,所以M2.

因为的最小正周期是2p,即,所以w1

又由的图象经过点(1),可得

所以kZ

0,所以,故,即.

2)由(1)知,又

,即

又因为ABC中,ABÎ(0p)

所以

所以

.

【点睛】

本题考查了三角函数的性质求解析式、三角恒等变换、诱导公式,熟记公式是解题的关键,属于基础题.

组卷:159次
难度:容易
知识点:三角函数
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12.

如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PCBC,点EPC的中点,且平面PBC平面ABCD.求证:

1)求证:PA平面BDE

2)求证:平面PAC平面BDE.

【答案】

1)证明见解析;(2)证明见解析;

【分析】

1)设ACBDO,连结OE,从而可得AP//OE,再利用线面平行的判定定理即可证出.

2)利用面面垂直的性质定理可得PC^平面ABCD,即证出PC^BD,再由AC^BD,根据线面垂直的判定定理可得BD^平面PAC,最后利用面面垂直的判定定理即可证出.

【详解】

证明:(1)设ACBDO,连结OE

因为底面ABCD是菱形,故OBD中点,

又因为点EPC的中点,

所以AP//OE,又因为OEÌ平面BDEAPË平面BDE

所以AP//平面BDE.

2)因为平面PBC^平面ABCDPC^BC

平面PBC平面ABCDBCPCÌ平面PBC

所以PC^平面ABCD

BDÌ平面ABCD,所以PC^BDABCD是菱形,AC^BD

PC^BDACPCCACÌ平面PACPCÌ平面PAC

所以BD^平面PAC

BDÌ平面BDE,所以平面PAC^平面BDE.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理,考查了考生的逻辑推理能力,属于基础题.

组卷:165次
难度:容易
知识点:点 直线 平面之间的位置
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13.

如图,在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1l2,一自然景观的边界近似为圆形,其半径约为1千米,景观的中心Cl1l2的距离相等,点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观,具体方案:在线段OC上取一点P,新建一条道路OP,并过点P新建两条与圆C相切的道路PMPNMN为切点),同时过点P新建一条与OP垂直的道路ABAB分别在l1l2上).为促进沿途旅游经济,新建道路长度之和越大越好,求新建道路长度之和的最大值.(所有道路宽度忽略不计)

【答案】

千米

【分析】

ÐPCMq,用表示出各道路长,并求出和.然后求导,用导数知识求得最大值.

【详解】

解:连接CM,设ÐPCMq,则PCPMPNtanq

OPOCPC10AB2OP20

设新建的道路长度之和为

1PC101,设(0)

,令

q的情况如下表:

(0)

()

0

单调递增

极大值

单调递减

由表可知有极大值也是最大值,此时

.

答:新建道路长度之和的最大值为千米.

【点睛】

本题考查导数的实际应用,解题关键是建立三角函数的模型,引入参数ÐPCMq,把各道路长用表示,并求出和.

组卷:125次
难度:中等
知识点:三角函数
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14.

如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆C(ab0)的短轴长为2F1F2分别是椭圆C的左、右焦点,过点F2的动直线与椭圆交于点PQ,过点F2PQ垂直的直线与椭圆C交于AB两点.当直线AB过原点时,PF13PF2.

1)求椭圆的标准方程;

2)若点H(30),记直线PHQHAHBH的斜率依次为.

,求直线PQ的斜率;

的最小值.

【答案】

12

【分析】

1)已知条件有,直线AB过原点时,PQ^x轴,所以PF1F2为直角三角形,利用椭圆定义和勾股定理可求得,得椭圆方程;

2设直线PQ,代入到椭圆方程得后化简,设P()Q(),应用韦达定理得,计算并代入可得;

分类讨论,当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,

当两条直线与坐标轴都不垂直时,由,同理可得,计算后应用基本不等式可得最小值.

【详解】

解:(1)因为椭圆C(ab0)的短轴长为2,所以b1

当直线AB过原点时,PQ^x轴,所以PF1F2为直角三角形,

由定义知PF1PF22a,而PF13PF2,故

,化简得a22

故椭圆的方程为.

2设直线PQ,代入到椭圆方程得:,设P()Q(),则

所以

所以

解得:,即为直线PQ的斜率.

当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,

当两条直线与坐标轴都不垂直时,

,同理可得

当且仅当k±1时取等号.

综上,的最小值为.

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相交中定值与最值问题.求椭圆方程时由于已知直线的特殊位置,利用椭圆的定义是解题关键,在直线与椭圆相交问题中,采取设而不求思想方法,即设直线方程,设交点坐标,直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得,代入其他条件化简变形即可得.

组卷:178次
难度:偏难
知识点:圆锥曲线与方程
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15.

如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立,则称为数列.

1)若数列数列,,求

2)若等差数列数列,求数列的通项公式;

3)是否存在数列,使得是等比数列?若存在,请求出所有满足条件的数列;若不存在,请说明理由.

【答案】

1;(2;(3)存在;满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.

【分析】

1)根据数列的定义,得,可求

2)根据数列的定义,得,分两种情况讨论. .时,由是等差数列,对赋值,求出和公差,即求

3)假设存在满足条件的数列,设等比数列的公比为q.则有,可得q1,故当时,.时,不妨设i为奇数,

,可得.

即满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.

【详解】

1)由数列数列,得,可得

2)由数列知恒成立,取m1恒成立,

时满足题意,此时

时,由可得,取mn2

设公差为d,则解得或者

综上,,经检验均合题意.

3)假设存在满足条件的数列

不妨设该等比数列的公比为q

则有

可得

可得

综上①②可得q1

,代入

则当时,

时,不妨设i为奇数,

.

综上,满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.

【点睛】

本题考查创新型题目,考查等差数列和等比数列的通项公式,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,属于难题.

组卷:140次
难度:很难
知识点:数列
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组卷/试题篮
16.

设函数.

1)若a0时,求函数的单调递增区间;

2)若函数x1时取极大值,求实数a的取值范围;

3)设函数的零点个数为m,试求m的最大值.

【答案】

1)单调增区间为(1)232

【分析】

1)求导得到函数的单调增区间.

2)求导,讨论几种情况,分别计算函数极值得到答案.

3)考虑两种情况,求导得到单调区间,计算极值判断零点个数,得到答案.

【详解】

1)当a0时,,所以,由x1

xÎ(01)时,0;当xÎ(1)时,0

所以函数的单调增区间为(1).

2)由题意得

(x0),则

0时,0恒成立,

(01)上递减,在(1+¥)上递增,所以x1是函数的极小值点,不满足;

时,此时0恒成立,

(01)上递减,在(1+¥)上递增,所以x1是函数的极小值点,不满足;

时,

(01)上递减,在(1+¥)上递增,所以x1是函数的极小值点,不满足;

时,解得(舍),

时,设的两个零点为,所以1,不妨设0

,所以01,故

xÎ(0)时,0;当xÎ(1)时,0;当xÎ(1)时,0;当xÎ()时,0

(0)上递减,在(1)上递增,在(1)上递减,在()上递增;

所以x1是函数极大值点,满足.

综上所述:.

3由(2)知当时,函数(01)上单调递减,在(1)上单调递增,故函数至多有两个零点,欲使有两个零点,需,得

故满足函数有2个零点.

时,由(2)知(0)上递减,在(1)上递增,在(1)上递减,在()上递增;

01,所以

此时函数也至多有两个零点

综上①②所述,函数的零点个数m的最大值为2.

【点睛】

本题考查了函数的单调区间,根据极值求参数,零点个数问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

组卷:136次
难度:偏难
知识点:导数及其应用
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17.

已知矩阵A,若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为,求该矩阵属于另一个特征值的特征向量.

【答案】

【分析】

根据特征向量和特征值的定义列出矩阵方程求出,写出特征多项式,由特征多项式可求得另一个特征值,再得特征向量.

【详解】

解:由题意知,所以,即

所以矩阵A的特征多项式

,解得

时,,令x1,则y=﹣1

所以矩阵A的另一个特征值为﹣1,对应的一个特征向量为.

【点睛】

本题考查特征值与特征向量,掌握特征值与特征向量的概念、特征多项式是解题关键.

组卷:102次
难度:中等
知识点:矩阵与变换
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18.

在极坐标系中,已知直线为实数),曲线,当直线被曲线截得的弦长取得最大值时,求实数的值.

【答案】

【分析】

将直线和圆的极坐标方程均化为普通方程,由题意可知直线过圆的圆心,由此可求得实数的值.

【详解】

由题意知直线的直角坐标方程为

又曲线的极坐标方程,即

所以曲线的直角坐标方程为,即

所以曲线是圆心为的圆,

当直线被曲线截得的弦长最大时,得,解得.

【点睛】

本题考查直线与圆的综合问题,考查极坐标方程与普通方程之间的转化,考查计算能力,属于基础题.

组卷:142次
难度:容易
知识点:坐标系与参数方程
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组卷/试题篮
19.

已知实数满足,求的最小值.

【答案】

【分析】

利用柯西不等式得出,由此可求得的最小值.

【详解】

由柯西不等式有

所以(当且仅当时取等号),

所以的最小值是.

【点睛】

本题考查利用柯西不等式求最值,解答的关键就是对代数式进行配凑,考查计算能力,属于基础题.

组卷:177次
难度:容易
知识点:不等式
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20.

如图,抛物线的焦点为,过点作直线与抛物线交于两点,当直线轴垂直时长为.

1)求抛物线的方程;

2)若的面积相等,求直线的方程.

【答案】

1;(2.

【分析】

1)由题意可知点在抛物线上,将该点坐标代入抛物线的方程,求得的值,进而可求得抛物线的方程;

2)由题意得出,可得知直线的斜率不为零,可设直线的方程为,将该直线方程与抛物线方程连理,列出韦达定理,由题意得出,代入韦达定理后可求得的值,进而可求得直线的方程.

【详解】

1)当直线轴垂直时的长为

,取,所以,解得

所以抛物线的方程为

2)由题意知

,所以

时,直线与抛物线不存在两个交点,所以

故设直线的方程为,代入抛物线方程得

所以

可得,解得.

所以,直线的方程为.

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了利用三角形面积关系求直线的方程,考查韦达定理设而不求法的应用,考查计算能力,属于中等题.

组卷:151次
难度:中等
知识点:圆锥曲线与方程
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试题详情
组卷/试题篮
21.

若有穷数列共有,且,当时恒成立..

1)求

2)求.

【答案】

12

【分析】

1)分别令,得到的值,再计算即可.

2)首先利用累乘法和组合数性质得到,从而得到,再利用二项式定理即可得到.

【详解】

1)令时,得,由,得

时,得,由,得

,得.

2)因,由累乘法得:

所以

所以

时,,也适合

所以

所以.

【点睛】

本题主要考查了数列的累乘法,同时组合数的性质和二项式定理,考查了学生分析问题的能力,属于难题.

组卷:191次
难度:偏难
知识点:数列
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试卷统计
试题总数:
49
总体难度:
中等
题型统计
大题类型
题目数
占比
填空题
28
57.14%
解答题
21
42.85%
知识点统计
知识点
题目数
占比
集合与函数的概念
3
6.12%
数系的扩充与复数的引入
2
4.08%
统计案例
2
4.08%
概率
3
6.12%
框图
2
4.08%
圆锥曲线与方程
5
10.20%
数列
5
10.20%
常用逻辑用语
2
4.08%
导数及其应用
5
10.20%
平面向量
2
4.08%
基本初等函数I
1
2.04%
圆与方程
1
2.04%
三角函数
6
12.24%
空间几何体
1
2.04%
不等式
2
4.08%
点 直线 平面之间的位置
2
4.08%
矩阵与变换
2
4.08%
坐标系与参数方程
2
4.08%
不等式选讲
1
2.04%
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