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高中数学2020年年末周练知识点——概率训练题(一)【含详解】
年级:高中
难度:中等
更新时间:2021-01-06
下载:200次
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一、选择题(共54题)
1.

2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从27日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等四类人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为与确诊患者的密切接触者,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行核糖核酸检测,若出现阳性,则该家庭为感染高危户.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为)且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为感染高危户的概率为,当时,最大,则   

A                 B                      C                        D

【答案】

A

【分析】

根据题意分别求出事件A:检测5个人确定为感染高危户发生的概率和事件B:检测6个人确定为感染高危户发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.

【详解】

设事件A:检测5个人确定为感染高危户”,

事件B:检测6个人确定为感染高危户”,

,.

,

当且仅当时取等号,.

故选:A

【点睛】

本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.

组卷:162次
难度:偏难
知识点:不等式
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2.

如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(

A                       B                         C                        D

【答案】

C

【详解】

试题分析:从中任取3个不同的数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求概率为,故选C.

考点:古典概型

组卷:168次
难度:容易
知识点:概率
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3.

某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(   

A62%                                                         B56%

C46%                                                         D42%

【答案】

C

【分析】

该中学学生喜欢足球为事件该中学学生喜欢游泳为事件,则该中学学生喜欢足球或游泳为事件该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳为事件,然后根据积事件的概率公式可得结果.

【详解】

该中学学生喜欢足球为事件该中学学生喜欢游泳为事件,则该中学学生喜欢足球或游泳为事件该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳为事件

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选:C.

【点睛】

本题考查了积事件的概率公式,属于基础题.

组卷:106次
难度:容易
知识点:概率
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4.

在区间上随机地取一个数,则事件发生的概率为(   )

A                         B                         C                         D

【答案】

A

【解析】

得,,所以,由几何概型概率的计算公式得,,故选.

考点:1.几何概型;2.对数函数的性质.

组卷:175次
难度:中等
知识点:概率
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5.

如图,在直角坐标系中,过坐标原点作曲线的切线,切点为,过点分别作轴的垂线,垂足分别为,向矩形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为(   

A                    B                     C                    D

【答案】

A

【分析】

先设出切点,利用切线过原点求出切点P的坐标,再用积分求出阴影部分的面积,最后用几何概型求得结果.

【详解】

设切点

所以切线方程,又因为过原点

所以解得

所以点P

因为轴在围成的面积是

则阴影部分的面积为

而矩形的面积为

故向矩形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为

故选A

【点睛】

本题主要考查了几何概型,但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练,属于中档题.

组卷:199次
难度:偏难
知识点:概率
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6.

在区间上随机取一个数,则直线与圆有两个不同公共点的概率为( )

A                         B                      C                         D

【答案】

D

【解析】

的圆心为圆心到直线的距离为,要使直线与圆相交,则解得在区间上随机取一个数使直线与圆有公共点的概率为故选D.

组卷:137次
难度:中等
知识点:圆与方程
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7.

满足不等式组,则成立的概率为

A                       B                        C                         D

【答案】

A

【解析】

首先根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,之后再作出直线所以满足条件的区域为可行域内落在直线的下方的区域,之后分别求出其图形对应的面积,利用概率公式求得结果.

【详解】

作出不等式组表示的平面区域,如图所示:

因为表示点与定点连线的斜率,

所以成立的点只能在图中的内部(含边界)

所以由几何概型得成立的概率为

解得,由解得

所以

所以成立的概率为

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关几何概型的问题,涉及到的知识点有不等式组表示的平面区域,需要利用不等式表示的区域,找出满足条件的区域,随后求得其对应的几何度量,利用公式求得结果,在解题的过程中,求对应图形的面积是解题的关键.

组卷:150次
难度:偏难
知识点:不等式
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8.

2018年元旦期间,某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数(单位:辆)均服从正态分布,若,假设三个收费口均能正常工作,则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为(   

A                     B                      C                      D

【答案】

C

【解析】

分析:根据正态曲线的对称性求解即可.

详解根据正态曲线的对称性,每个收费口超过辆的概率

这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率

故选C.

点睛本题主要考查正态分布的性质与实际应用,属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰,只要掌握以下两点,问题就能迎刃而解:(1)仔细阅读,将实际问题与正态分布挂起钩来;(2)熟练掌握正态分布的性质,特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.

组卷:116次
难度:中等
知识点:概率
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9.

一张储蓄卡的密码共有位数字,每位数字都可以从中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过次就按对的概率为(   

A                         B                        C                         D

【答案】

C

【分析】

利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解.

【详解】

一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从09中任选一个,

某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,

任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率为:

p==

故选C.

【点睛】

本题考查概率的求法,考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

组卷:144次
难度:中等
知识点:概率
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10.

赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了勾股圆方图,亦称赵爽弦图(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是( 

A                       B                   C                       D

【答案】

A

【解析】

根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.

【详解】

中,,由余弦定理,得

所以.

所以所求概率为.

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.

组卷:152次
难度:中等
知识点:概率
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11.

若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为

A0.3                        B0.4                         C0.6                        D0.7

【答案】

B

【详解】

分析:由公式计算可得

详解:设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付,

因为

所以

故选B.

点睛:本题主要考查事件的基本关系和概率的计算,属于基础题.

组卷:140次
难度:基础
知识点:概率
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12.

现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为

A                        B                         C                         D

【答案】

B

【分析】

求得基本事件的总数为,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解.

【详解】

由题意,现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,

基本事件的总数为

其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,

所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为,故选B.

【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用,以及古典概型及其概率的计算问题,其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数,利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.

组卷:129次
难度:中等
知识点:计数原理
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13.

如图为我国数学家赵爽3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则区域涂色不相同的概率为  

A                         B                         C                         D

【答案】

D

【分析】

利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种,其中,区域涂色不相同的情况有120种,由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率.

【详解】

提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,

根据题意,如图,设5个区域依次为,4步进行分析:

,对于区域,有5种颜色可选;

,对于区域区域相邻,有4种颜色可选;

,对于区域,与区域相邻,有3种颜色可选;

,对于区域,若颜色相同,区域有3种颜色可选,

颜色不相同,区域有2种颜色可选,区域有2种颜色可选,

则区域种选择,

则不同的涂色方案有种,

其中,区域涂色不相同的情况有:

,对于区域,有5种颜色可选;

,对于区域区域相邻,有4种颜色可选;

,对于区域区域相邻,有2种颜色可选;

,对于区域,若颜色相同,区域有2种颜色可选,

颜色不相同,区域有2种颜色可选,区域有1种颜色可选,

则区域种选择,

不同的涂色方案有种,

区域涂色不相同的概率为 ,故选D

【点睛】

本题考查古典概型概率公式的应用,考查分步计数原理等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.在求解有关古典概型概率的问题时,首先求出样本空间中基本事件的总数,其次求出概率事件中含有多少个基本事件,然后根据公式求得概率.

组卷:144次
难度:偏难
知识点:计数原理
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14.

某兴趣小组有5名学生,其中有3名男生和2名女生,现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动,则选中的2名学生的性别相同的概率是(  

A                         B                         C                        D

【答案】

A

【解析】

由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式计算可得满足题意的概率值.

【详解】

由题意可知,选中的2名学生的性别相同的概率是:

.

故选A.

【点睛】

本题主要考查古典概型计算公式,排列组合的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

组卷:185次
难度:中等
知识点:概率
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15.

已知函数,则任取一实数,使的概率为

A                         B                         C                         D

【答案】

C

【解析】

求出的范围,再根据与长度有关的几何概型概率公式计算.

【详解】

时,由,当时,由,因此由,可得.从而所求概率为.故选C.

【点睛】

本题考查几何概型概率公式,属于基础题.

组卷:101次
难度:中等
知识点:概率
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16.

2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为

A                      B                       C                       D

【答案】

D

【解析】

分析:分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务的总可能及事件选中的2人都是女同学的总可能,代入概率公式可求得概率.

详解:设2名男同学为,3名女同学为

从以上5名同学中任选2人总共有10种可能

选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能

则选中的2人都是女同学的概率为

故选D.

点睛应用古典概型求某事件的步骤:第一步判断本试验的结果是否为等可能事件,设出事件第二步,分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数第三步,利用公式求出事件的概率.

组卷:143次
难度:容易
知识点:概率
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17.

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

A                       B                        C                        D

【答案】

C

【解析】

分析:先确定不超过30的素数,再确定两个不同的数的和等于30的取法,最后根据古典概型概率公式求概率.

详解:不超过30的素数有2357111317192329,共10个,随机选取两个不同的数,共有种方法,因为,所以随机选取两个不同的数,其和等于30的有3种方法,故概率为,选C.

点睛:古典概型中基本事件数的探求方法: (1)列举法. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有有序无序区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

组卷:190次
难度:中等
知识点:概率
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18.

如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则

Ap1=p2                                                       Bp1=p3

Cp2=p3                                                        Dp1=p2+p3

【答案】

A

【分析】

首先设出直角三角形三条边的长度根据其为直角三角形,从而得到三边的关系,然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积,根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1,p2,p3的关系,从而求得结果.

【详解】

,则有

从而可以求得的面积为

黑色部分的面积为

其余部分的面积为,所以有

根据面积型几何概型的概率公式,可以得到故选A.

点睛:该题考查的是面积型几何概型的有关问题题中需要解决的是概率的大小,根据面积型几何概型的概率公式,将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小,利用相关图形的面积公式求得结果.

组卷:167次
难度:中等
知识点:概率
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19.

某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒,若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(   

A                        B                          C                         D

【答案】

B

【解析】

试题分析:因为红灯持续时间为40,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为,故选B.

【考点】几何概型

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的测度要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握测度为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.

组卷:180次
难度:中等
知识点:概率
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20.

两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

A                        B                        C                         D

【答案】

B

【解析】

记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A

即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况,

P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=

故选B.

组卷:135次
难度:中等
知识点:概率
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21.

已知数据1234的平均数与中位数相等,从这5个数中任取2个,则这2个数字之积大于5的概率为(   

A                         B                        C                         D

【答案】

B

【解析】

分析:由题意首先求得实数x的值,然后列出所有可能的结果,从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果.

详解:由数据1,2,3,4,x(0<x<5)的平均数

可得2+=x,所以x=,从这5个数中任取2个,结果有:

10种,这2个数字之积大于5的结果有:

,共5种,

所以所求概率为.

本题选择B选项.

点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助树状图列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.

组卷:150次
难度:偏难
知识点:概率
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22.

设随机变量,其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是(  

(注:若,则

A7539                      B7028                      C6587                      D6038

【答案】

C

【分析】

由题意正方形的面积为,再根据正态分布曲线的性质,求得阴影部分的面积,利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率,即可求解,得到答案.

【详解】

由题意知,正方形的边长为1,所以正方形的面积为

又由随机变量服从正态分布

所以正态分布密度曲线关于对称,且

又由,即

所以阴影部分的面积为

由面积比的几何概型可得概率为

所以落入阴影部分的点的个数的估计值是,故选C

【点睛】

本题主要考查了正态分布密度曲线的性质,以及面积比的几何概型的应用,其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质,准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.

组卷:100次
难度:容易
知识点:概率
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23.

从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是(   

A至少有一个黑球与都是黑球

B至少有一个黑球与至少有一个红球

C恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D至少有一个黑球与都是红球

【答案】

C

【分析】

列举每个事件所包含的基本事件,结合互斥事件和对立事件的定义求解.

【详解】

A. “至少有一个黑球等价于一个黑球和一个红球或两个黑球都是黑球可以同时发生,不是互斥事件,故错误.

B. “至少有一个黑球等价于一个黑球和一个红球或两个黑球至少有一个红球等价于一个黑球和一个红球或两个红球,可以同时发生,故错误.

C. “恰好有一个黑球等价于一个黑球和一个红球,与恰好有两个黑球,不同时发生,还有可能都是红球,不是对立事件,故正确.

D. “至少有一个黑球等价于一个黑球和一个红球或两个黑球,与都是红球,不同时发生,但一定会有一个发生,是对立事件,故错误.

故选:C

【点睛】

本题主要考查互斥事件与对立事件,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.

组卷:117次
难度:容易
知识点:概率
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24.

微信抢红包2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元, 5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是      

A                       B                         C                         D

【答案】

D

【解析】

甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数,甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个,由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率.

【详解】

由题意,所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,

甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为

甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个,分别为

 

所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为,故选D.

【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题,其中解答中正确理解题意,找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.

组卷:137次
难度:中等
知识点:概率
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25.

2021年某省新高考将实行模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件他选择政治和地理,事件他选择化学和地理,则事件与事件   

A是互斥事件,不是对立事件                     B是对立事件,不是互斥事件

C既是互斥事件,也是对立事件                  D既不是互斥事件也不是对立事件

【答案】

A

【分析】

事件与事件不能同时发生,是互斥事件,他还可以选择化学和政治,不是对立事件,得到答案.

【详解】

事件与事件不能同时发生,是互斥事件

他还可以选择化学和政治,不是对立事件

故答案选A

【点睛】

本题考查了互斥事件和对立事件,意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.

组卷:134次
难度:基础
知识点:概率
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26.

从分别标有1,2,…,99张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

A                       B                        C                        D

【答案】

C

【解析】

标有张卡片中,标奇数的有张,标偶数的有张,所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ,C.

【名师点睛】概率问题的考查,侧重于对古典概型和对立事件的概率考查,属于简单题.江苏对古典概型概率考查,注重事件本身的理解,淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义,然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题,而当正面问题比较复杂时,往往采取计数其对立事件.

组卷:186次
难度:中等
知识点:概率
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27.

某公司的班车在7:308:008:30发车,小明在7:508:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是

A                         B                        C                         D

【答案】

B

【解析】

试题分析:由题意,这是几何概型问题,班车每30分钟发出一辆,到达发车站的时间总长度为40,等车不超过10分钟的时间长度为20,故所求概率为,选B.

【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.

组卷:139次
难度:容易
知识点:概率
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28.

为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

A                         B                        C                         D

【答案】

C

【解析】

试题分析:将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中,余下2种种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种,故所求概率为,选C.

【考点】古典概型

【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.

组卷:126次
难度:容易
知识点:概率
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29.

如图是一只蜘蛛的辛勤劳动成果,已知该蜘蛛网从内到外由一系列嵌套的正六边形组成,其中最内部的正六边形的边长为a,且从内至外正六边形的边长满足数量关系a,2a,3a,4a,…,其中最内部正六边形区域称为死亡区域”,只要猎物进入该区域则一定会被捕获,现在有一只蜜蜂飞向该蜘蛛网,且其通过该蜘蛛网的最大范围不会超过从内至外的第三个正六边形,则猎物一定会被捕获的概率为(  )

A                         B                         C                         D

【答案】

B

【解析】

猎物一定会被捕获为事件A,

由题易知该概率模型为几何概型,事件A所包含的基本事件构成区域的面积为a=a2,

总的基本事件构成的区域的面积为×3a××3a=a2,P(A)=.

故选B.

点睛:本题主要考查了几何概型的概率问题,属于中档题.解决此类问题,首先要分析试验结果是不是无限个,其次要分析每个结果是不是等可能的,符合以上两点才是几何概型问题,确定是几何概型问题后,要分析时间的度量是用长度还是面积,体积等,然后代入几何概型概率公式即可.

组卷:162次
难度:容易
知识点:概率
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30.

若事件AB互为对立事件,P(A)=0.4,P(B)=(  )

A0                           B0.4                        C0.6                        D1

【答案】

C

【解析】

因为对立事件的概率公式P()=1-P(A)=0.6.

故选C.

组卷:101次
难度:基础
知识点:概率
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31.

如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则鱼食落在圆锥外面的概率是(  

A                     B                        C                         D

【答案】

A

【详解】

由题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为π.

所以鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到的概率是1-.

故选A.

组卷:185次
难度:容易
知识点:概率
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32.

奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事件甲分得红色乙分得红色是(   )

A对立事件                                                 B不可能事件

C互斥但不对立事件                                    D不是互斥事件

【答案】

C

【解析】

甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即甲或乙分得红色的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.选C.

组卷:115次
难度:中等
知识点:概率
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33.

生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为

A                                                           B

C                                                            D

【答案】

B

【分析】

本题首先用列举法写出所有基本事件,从中确定符合条件的基本事件数,应用古典概率的计算公式求解.

【详解】

设其中做过测试的3只兔子为,剩余的2只为,则从这5只中任取3只的所有取法有10种.其中恰有2只做过测试的取法有6种,

所以恰有2只做过测试的概率为,选B

【点睛】

本题主要考查古典概率的求解,题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复,将兔子标注字母,利用树图法,可最大限度的避免出错.

组卷:169次
难度:容易
知识点:概率
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34.

在区间中随机取一个实数,则事件直线与圆相交发生的概率为(   

A                      B                      C                      D

【答案】

A

【解析】

依题意得圆的圆心为,半径为.

要使直线与圆相交,则圆心到直线的距离,解得.

由几何概型的概率公式得在区间中随机取一个实数,则事件直线与圆相交发生的概率为.

故选A.

点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,要考虑使用几何概型求解;

(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域;

(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性,基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的的区域是有限的,因此可用比例解法求解几何概型的概率.

组卷:164次
难度:偏难
知识点:圆与方程
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35.

学生李明上学要经过个路口,前三个路口遇到红灯的概率均为,第四个路口遇到红灯的概率为,设在各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为(   

A                       B                         C                       D

【答案】

A

【分析】

分两种情况求解:前三个路口恰有一次红灯,第四个路口为绿灯;前三个路口都是绿灯,第四个路口为红灯分别求出概率后再根据互斥事件的概率求解即可

【详解】

分两种情况求解:

前三个路口恰有一次红灯,且第四个路口为绿灯的概率为

前三个路口都是绿灯,第四个路口为红灯的概率为

由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为

故选A.

【点睛】

求解概率问题时首先要分清所求概率的类型,然后再根据每种类型的概率公式求解对于一些比较复杂的事件的概率可根据条件将其分解为简单事件的概率求解再结合互斥事件的概率加法公式求解即可

组卷:126次
难度:容易
知识点:概率
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36.

如图所示,在矩形中,,图中阴影部分是以为直径的半圆,现在向矩形内随机撒4000粒豆子(豆子的大小忽略不计),根据你所学的概率统计知识,下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是(    )

A1000                      B2000                      C3000                      D4000

【答案】

C

【分析】

在矩形中,面积为,半圆的面积为故由几何概型可知半圆所占比例为由此计算落在阴影部分内的豆子数目

【详解】

在矩形中,面积为,半圆的面积为故由几何概型可知半圆所占比例为随机撒4000粒豆子,落在阴影部分内的豆子数目大约为3000,故选C

【点睛】

几何概型是计算面积、线段长度、角度、体积等的比例值但题设不会明确的给出利用几何概型求解,需要对题意进行等价转化

组卷:115次
难度:基础
知识点:概率
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37.

《九章算术》中有如下问题:今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?其大意:已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是 (    )

A                      B                       C                  D

【答案】

C

【分析】

本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径,然后分别计算出内切圆和三角形的面积,最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.

【详解】

如图所示,直角三角形的斜边长为

设内切圆的半径为,则,解得.

所以内切圆的面积为

所以豆子落在内切圆外部的概率,故选C

【点睛】

本题主要考查面积型的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

组卷:108次
难度:容易
知识点:概率
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38.

割圆术是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.14153.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(    )(参考数据:

A3.1419                  B3.1417                   C3.1415                  D3.1413

【答案】

A

【分析】

先设圆的半径为,表示出圆的面积和正六边形的面积,再由题中所给概率,即可得出结果.

【详解】

设圆的半径为,则圆的面积为,正六边形的面积为,因而所求该实验的概率为,则.

故选A

【点睛】

本题主要考查与面积有关的几何概型,熟记概率计算公式即可,属于常考题型.

组卷:196次
难度:容易
知识点:概率
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39.

齐王有上等、中等、下等马各一匹,田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜得概率为(   

A                         B                         C                         D

【答案】

C

【分析】

现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9齐王的马获胜包含的基本事件有6利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.

【详解】

设齐王上等中等下等马分別为,田忌上等中等下等马分别为

现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,

基本事件有:9种,有优势的马一定获胜齐王的马获胜包含的基本事件有:,共 6,

齐王的马获胜的概率为,故选C.

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于中档题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先…. ,再…..依次….这样才能避免多写、漏写现象的发生.

组卷:121次
难度:中等
知识点:概率
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40.

如图,若在矩形中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为(   

A                   B                         C                       D

【答案】

A

【分析】

分别求出矩形和阴影部分的面积,即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.

【详解】

豆子落在图中阴影部分的概率为.

故选A.

【点睛】

本题考查几何概率的求解,属于基础题,难度不大,正确求面积是关键.

组卷:190次
难度:中等
知识点:概率
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41.

从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是(  )

A.至少有一个黑球都是黑球      

B至少有一个黑球至少有一个红球

C恰好有一个黑球恰好有两个黑球    

D至少有一个黑球都是红球

【答案】

C

【解析】

分析:利用对立事件、互斥事件的定义求解.

详解:从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,

A中,至少有一个黑球都是黑球能同时发生,不是互斥事件,故A错误;

B中,至少有一个黑球至少有一个红球能同时发生,不是互斥事件,故B错误;

C中,恰好有一个黑球恰好有两个黑球不能同时发生,

但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故C正确;

D中,至少有一个黑球都是红球是对立事件,故D错误.

故答案为:C

点睛:(1)本题主要考查互斥事件和对立事件的定义,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中,不可能同时发生的两个事件,对立事件指的是在一次试验中,不可能同时发生的两个事件,且在一次试验中,必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.

组卷:136次
难度:容易
知识点:概率
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42.

在区间上随机取一个数b,若使直线yx+b与圆x2+y2a有交点的概率为,则a=(  )

A                         B                        C1                           D2

【答案】

B

【分析】

由直线与圆有交点可得利用几何概型概率公式列方程求解即可.

【详解】

因为直线与圆有交点

所以圆心到直线的距离

又因为直线与圆有交点的概率为

故选B.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用,属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型,常见思路有两个:一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系;二是直线方程与圆的方程联立,考虑运用韦达定理以及判别式来解答.

组卷:194次
难度:容易
知识点:圆与方程
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43.

如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是

A                         B                         C                        D

【答案】

B

【解析】

设正方形边长为,则圆的半径为,正方形的面积为,圆的面积为.由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是,选B.

点睛:对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算.

组卷:127次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
44.

从分别写有张卡片中随机抽取张,放回后再随机抽取张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )

A                       B                         C                        D

【答案】

D

【详解】

从分别写有1,2,3,4,55张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,

基本事件总数n=5×5=25,

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有:

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

共有m=10个基本事件,

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=

故答案为D.

组卷:109次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
45.

已知为长方形,的中点,在长方形内随机取一点,取到的点到的距离大于1的概率为(  

A                         B                    C                         D

【答案】

B

【详解】

根据几何概型得:取到的点到O的距离大于1的概率:,故选B.

组卷:177次
难度:基础
知识点:概率
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组卷/试题篮
46.

某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为(    

A                       B                         C                         D

【答案】

B

【解析】

由题意,此人在50分到整点之间的10分钟内到达,等待时间不多于10分钟,所以概率.故选B.

组卷:182次
难度:基础
知识点:概率
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组卷/试题篮
47.

3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

A                         B                        C                         D

【答案】

A

【解析】

每个同学参加的情形都有3种,故两个同学参加一组的情形有9种,而参加同一组的情形只有3种,所求的概率为p=A

组卷:143次
难度:容易
知识点:概率
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组卷/试题篮
48.

5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为

A                         B                         C                         D

【答案】

C

【解析】

选取两支彩笔的方法有种,含有红色彩笔的选法为种,

由古典概型公式,满足题意的概率值为.

本题选择C选项.

考点:古典概型

名师点睛:对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数,基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题,看抽取时是有、无顺序,本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,是组合问题,当然简单问题建议采取列举法更直观一些.

组卷:135次
难度:中等
知识点:概率
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49.

七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为东方模板,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率为(  

A                       B                        C                          D

【答案】

C

【解析】

分析:由七巧板的构造,设小正方形的边长为1,计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和.

详解:设小正方形的边长为1,可得黑色平行四边形的底为高为;黑色等腰直角三角形的直角边为2,斜边为2,大正方形的边长为2

所以

故选C.

点睛:本题主要考查几何概型,由七巧板的构造,设小正方形的边长为1,通过分析观察,求得黑色平行四边形的底和高,以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长,进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和,再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率,属于较易题型.

组卷:175次
难度:容易
知识点:概率
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50.

个排球中有个正品,个次品.从中抽取个,则正品数比次品数少的概率为(  

A                       B                       C                       D

【答案】

A

【解析】

分析:根据超几何分布,可知共有 种选择方法,符合正品数比次品数少的情况有两种,分别为0个正品4个次品,1个正品3个次品,分别求其概率即可.

详解:正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,

由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时

1个正品3个次品时

所以正品数比次品数少的概率为

所以选A

点睛:本题考查了超几何分布在分布列中的应用,主要区分二项分布和超几何分布的不同.根据不同的情况求出各自的概率,属于简单题.

组卷:177次
难度:中等
知识点:概率
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51.

如图,边长为2的正方形中有一阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为 (  )

A                         B                         C                         D无法计算

【答案】

C

【分析】

求出正方形的面积,利用几何概型可求阴影区域的面积.

【详解】

设阴影区域的面积为,所以.

故选C.

【点睛】

本题考查几何概型的应用,属基础题.

组卷:101次
难度:基础
知识点:概率
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52.

一个电路如图所示,ABCDEF6个开关,其闭合的概率为,且是相互独立的,则灯亮的概率是(  )

A                       B                       C                         D

【答案】

B

【解析】

中至少有一个不闭合的事件为至少有一个不闭合的事件为,则,所以灯亮的概率为 故选B.

【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式,属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来,要会对一个复杂的随机事件进行分析,也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和,再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积,这种把复杂事件转化为简单事件,综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.

组卷:188次
难度:偏难
知识点:概率
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53.

两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( 

A                         B                         C                         D

【答案】

D

【分析】

男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率,进而得解.

【详解】

两位男同学和两位女同学排成一列,因为男生和女生人数相等,两位女生相邻与不相邻的排法种数相同,所以两位女生相邻与不相邻的概率均是.故选D

【点睛】

本题考查常见背景中的古典概型,渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法,利用等价转化的思想解题.

组卷:138次
难度:容易
知识点:计数原理
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54.

若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被 录用的概率为( 

A                                                           B

C                                                            D

【答案】

D

【解析】

试题分析:甲乙都未被录用的概率为,所以甲或乙被录用的概率为

考点:古典概型概率

组卷:139次
难度:容易
知识点:概率
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二、解答题(共37题)
1.

某机构组织语文、数学学科能力竞赛,每个考生都参加两科考试,按照一定比例淘汰后,按学科分别评出一二三等奖.现有某考场的两科考试数据统计如下,其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.

)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数;

)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人,进行综合素质测试,将他们的综合得分绘成茎叶图(如图),求两类样本的平均数及方差并进行比较分析;

)已知该考场的所有考生中,恰有人两科成绩均为一等奖,在至少一科成绩为一等奖的考生中,随机抽取人进行访谈,求两人两科成绩均为一等奖的概率.

【答案】

(1)4(2)数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高,但是稳定性较差.(3)

【解析】

试题分析:()由数学成绩为二等奖的考生人数及频率,可求得总人数,再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率,与总人数相乘即可得结果()分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差,可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高,但是稳定性较差;()利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个,而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个,利用古典概型概率公式可得结果.

试题解析:(Ⅰ)由数学成绩为二等奖的考生有人,可得,所以语文成绩为一等奖的考生

(Ⅱ)设数学和语文两科的平均数和方差分别为

,

 ,因为,所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高,但是稳定性较差.                                                    

(Ⅲ)两科均为一等奖共有人,仅数学一等奖有人,仅语文一等奖有----9

设两科成绩都是一等奖的人分别为,只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是,则随机抽取两人的基本事件空间为  ,共有个,而两人两科成绩均为一等奖的基本事件个,所以两人的两科成绩均为一等奖的概率.

组卷:193次
难度:中等
知识点:统计案例
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2.

某省从2021年开始将全面推行新高考制度,新高考中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科,按照等级赋分计入高考成绩,等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始,高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级,确定各等级人数所占比例分别为,等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法分别转换到五个分数区间,得到考生的等级分,等级转换分满分为100.具体转换分数区间如下表:

等级

比例

赋分区间

而等比例转换法是通过公式计算:

其中分别表示原始分区间的最低分和最高分,分别表示等级分区间的最低分和最高分,表示原始分,表示转换分,当原始分为时,等级分分别为

假设小南的化学考试成绩信息如下表:

考生科目

考试成绩

成绩等级

原始分区间

等级分区间

化学

75

等级

设小南转换后的等级成绩为,根据公式得:

所以(四舍五入取整),小南最终化学成绩为77.

已知某年级学生有100人选了化学,以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩,其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表:

成绩

95

93

91

90

88

87

85

人数

1

2

3

2

3

2

2

1)从化学成绩获得等级的学生中任取2名,求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率;

2)从化学成绩获得等级的学生中任取5名,设5名学生中等级成绩不小于96分人数为,求的分布列和期望.

【答案】

12)见解析

【分析】

1)根据成绩换算公式,计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩,进而得到等级成绩不低于96分的人数,根据古典概型的概率即可得到所求;

2)列出随机变量的所有可能的取值,分别求出对应的概率,列出分布列,计算期望即可.

【详解】

1)设化学成绩获得等级的学生原始成绩为,等级成绩为,由转换公式得:

,即:

所以,得:

显然原始成绩满足的同学有3人,获得等级的考生有15.

恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.

2)由题意可得:等级成绩不小于96分人数为3人,获得等级的考生有15人,

则分布列为

0

1

2

3

则期望为:

【点睛】

本题考查古典概型、计数原理、统计表的应用、超几何分布,考查数据处理能力和运算求解能力,属于中档题.

组卷:130次
难度:偏难
知识点:概率
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3.

电影公司随机收集了电影的有关数据经分类整理得到下表

电影类型

第一类

第二类

第三类

第四类

第五类

第六类

电影部数

140

50

300

200

800

510

好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

0.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值

假设所有电影是否获得好评相互独立

从电影公司收集的电影中随机选取1求这部电影是获得好评的第四类电影的概率

从第四类电影和第五类电影中各随机选取1估计恰有1部获得好评的概率

假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等表示第k类电影得到人们喜欢表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差的大小关系

【答案】

(1) 概率为0.025

(2) 概率估计为0.35

(3) >>=>>

【解析】

分析:(1)先根据频数计算是第四类电影的频率,再乘以第四类电影好评率得所求概率,(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件,先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率,再相加得结果,(3) 服从0-1分布,因此,即得>>=>>

详解:解:(由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.

故所求概率为

设事件A从第四类电影中随机选出的电影获得好评

事件B从第五类电影中随机选出的电影获得好评

故所求概率为P()=P()+P(

=P(A)(1–P(B))+(1–P(A))P(B).

由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.

故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.

>>=>>

点睛:互斥事件概率加法公式:若A,B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B),独立事件概率乘法公式:A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).

组卷:135次
难度:中等
知识点:概率
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4.

已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;

)已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列和数学期望.

【答案】

;(

【解析】

试题分析:(1)求古典概型概率,先确定两次检测基本事件个数:,再确定第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的基本事件个数,从而得所求事件概率为2)先确定随机变量:最少两次(两次皆为次品),最多四次(前三次两次正品,一次次品),三次情况较多,可利用补集求其概率,列出分布列,最后根据数学期望公式求期望

试题解析:解:)记第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品为事件

的可能取值为200,300,400

(或

的分布列为

X

200

300

400

P







考点:1.古典概型概率;2.分布列和数学期望.

【方法点睛】(1)求随机变量的分布列的主要步骤:一是明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布;二是求每一个随机变量取值的概率,三是列成表格;(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确;(3)求解离散随机变量分布列和方差,首先要理解问题的关键,其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值,计算出相对应的概率,写成随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.

组卷:174次
难度:中等
知识点:概率
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5.

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

的分组

企业数

2

24

53

14

7

1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;

2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01

附:.

【答案】

(1) 增长率超过的企业比例为,产值负增长的企业比例为;(2)平均数;标准差.

【分析】

(1)本题首先可以通过题意确定个企业中增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数,然后通过增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果;

(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果.

【详解】

(1)由题意可知,随机调查的个企业中增长率超过的企业有个,

产值负增长的企业有个,

所以增长率超过的企业比例为,产值负增长的企业比例为

(2)由题意可知,平均值

标准差的平方:

所以标准差

【点睛】

本题考查平均值以及标准差的计算,主要考查平均值以及标准差的计算公式,考查学生从信息题中获取所需信息的能力,考查学生的计算能力,是简单题.

组卷:134次
难度:中等
知识点:概率
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6.

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;

(ii)设A为事件抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工,求事件A发生的概率.

【答案】

)从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.()(i)答案见解析;(ii)

【解析】

分析:)由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.

)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.且分布列为超几何分布,即P(X=k)=(k=0,1,2,3).据此求解分布列即可,计算相应的数学期望为

(ii)由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为

详解:)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.

)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=k)=(k=0,1,2,3).

所以,随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

P

随机变量X的数学期望

(ii)设事件B抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2”;

事件C抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1”,

A=BC,且BC互斥,

由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),

P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=

所以,事件A发生的概率为

点睛:本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:考查对象分两类;已知各类对象的个数;从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1) ;(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.

组卷:176次
难度:中等
知识点:统计案例
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7.

某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照分成6组,制成如图所示频率分布直方图.

1)求图中x的值;

2)求这组数据的中位数;

3)现从被调查的问卷满意度评分值在的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.

【答案】

10.02;(275;(30.4

【分析】

1)由面积和为1,可解得x的值;

2)由中位数两侧的面积相等,可解得中位数;

3)列出所有基本事件共10个,其中符合条件的共4个,从而可以解出所求概率.

【详解】

解:(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x×10=1,解得x=0.02

2)中位数设为m,则0.05+0.1+0.2+m-70×0.03=0.5,解得m=75

3)可得满意度评分值在内有20人,抽得样本为2人,记为a1a2

满意度评分值在内有30人,抽得样本为3人,记为b1b2b3

“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组为事件A

基本事件有(a1a2),(a1b1),(a1b2),(a1b3),(a2b1),(a2b2),

a2b3),(b1b2),(b1b3),(b2b3)共10个,A包含的基本事件个数为4个,

利用古典概型概率公式可知PA=0.4

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图,中位数和古典概型,属于基础题.

组卷:105次
难度:容易
知识点:统计案例
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8.

2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.

)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?

)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为.享受情况如下表,其中表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

员工

项目

A

B

C

D

E

F

子女教育

×

×

继续教育

×

×

×

大病医疗

×

×

×

×

×

住房贷款利息

×

×

住房租金

×

×

×

×

×

赡养老人

×

×

×

i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

ii)设为事件抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同,求事件发生的概率.

【答案】

I6人,9人,10人;

II)(i)见解析;(ii.

【分析】

I)根据题中所给的老、中、青员工人数,求得人数比,利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的,结合样本容量求得结果;

II)(I)根据6人中随机抽取2人,将所有的结果一一列出;

ii)根据题意,找出满足条件的基本事件,利用公式求得概率.

【详解】

I)由已知,老、中、青员工人数之比为

由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工,

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10.

II)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

,,,,15种;

ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为,,,,11种,

所以,事件M发生的概率.

【点睛】

本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

组卷:197次
难度:中等
知识点:概率
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9.

在平面直角坐标系xOy中,设点集.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.

1)当n=1时,求X的概率分布;

2)对给定的正整数nn≥3),求概率PX≤n)(用n表示).

【答案】

1)见解析;

2

【分析】

(1)由题意首先确定X可能的取值,然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列;

(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值,据此分类讨论....四种情况确定满足的所有可能的取值,然后求解相应的概率值即可确定的值.

【详解】

1)当时,的所有可能取值是

的概率分布为

2)设是从中取出的两个点.

因为,所以仅需考虑的情况.

,则,不存在的取法;

,则,所以当且仅当,此时,有2种取法;

,则,因为当时,,所以当且仅当,此时,有2种取法;

,则,所以当且仅当,此时,有2种取法.

综上,当时,的所有可能取值是,且

因此,

【点睛】

本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.

组卷:193次
难度:偏难
知识点:概率
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10.

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

最高气温

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.

【答案】

1.(2

【分析】

1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间和最高气温低于20的天数,由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.

2)当温度大于等于25时,需求量为500,求出Y900元;当温度在时,需求量为300,求出Y300元;当温度低于20时,需求量为200,求出Y=﹣100元,从而当温度大于等于20时,Y0,由此能估计估计Y大于零的概率.

【详解】

解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,

得到最高气温位于区间和最高气温低于20的天数为2+16+3654

根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.

如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,

如果最高气温位于区间,需求量为300瓶,

如果最高气温低于20,需求量为200瓶,

六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p

2)当温度大于等于25时,需求量为500

Y450×2900元,

当温度在时,需求量为300

Y300×2﹣(450300×2300元,

当温度低于20时,需求量为200

Y400﹣(450200×2=﹣100元,

当温度大于等于20时,Y0

由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20的天数有:

90﹣(2+16)=72

估计Y大于零的概率P

【点睛】

本题考查概率的求法,考查利润的所有可能取值的求法,考查函数、古典概型等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.

组卷:176次
难度:中等
知识点:概率
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11.

11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.

1)求PX=2);

2)求事件“X=4且甲获胜的概率.

【答案】

1;(20.1

【分析】

(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为甲连赢两球或乙连赢两球,然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果;

(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为前两球甲乙各得分,后两球均为甲得分,然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果.

【详解】

(1)由题意可知,所包含的事件为甲连赢两球或乙连赢两球

所以

(2)由题意可知,包含的事件为前两球甲乙各得分,后两球均为甲得分

所以

【点睛】

本题考查古典概型的相关性质,能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键,考查推理能力,考查学生从题目中获取所需信息的能力,是中档题.

组卷:128次
难度:中等
知识点:概率
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12.

为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为αβ,一轮试验中甲药的得分记为X

1)求的分布列;

2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效的概率,则,其中.假设

(i)证明:为等比数列;

(ii),并根据的值解释这种试验方案的合理性.

【答案】

1)见解析;(2)(i)见解析;(ii.

【分析】

1)首先确定所有可能的取值,再来计算出每个取值对应的概率,从而可得分布列;(2)(i)求解出的取值,可得,从而整理出符合等比数列定义的形式,问题得证;(ii)列出证得的等比数列的通项公式,采用累加的方式,结合的值可求得;再次利用累加法可求出.

【详解】

1)由题意可知所有可能的取值为:

的分布列如下:

2

i

整理可得: 

是以为首项,为公比的等比数列

ii)由(i)知:

……

作和可得:

表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种实验方案合理.

【点睛】

本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强,要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识,对学生分析和解决问题能力要求较高.

组卷:151次
难度:很难
知识点:概率
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13.

中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台延迟退休年龄政策”.为了了解人们对延迟退休年龄政策的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持延迟退休的人数与年龄的统计结果如下:

年龄

支持延迟退休的人数

15

5

15

28

17

1)由以上统计数据填列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对延迟退休年龄政策的支持度有差异;

45岁以下

45岁以上

总计

支持

不支持

总计

2)若以45岁为分界点,从不支持延迟退休的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2

抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率.

记抽到45岁以上的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.

参考数据:

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

,其中

【答案】

1)能(2见解析

【解析】

分析:(1)由统计数据填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;
(2求抽到1人是45岁以下的概率,再求抽到1人是45岁以上的概率,
根据题意知的可能取值,计算对应的概率值,写出随机变量的分布列,计算数学期望值.

详解:(1)由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人,故填充列联表如下:

45岁以下

45岁以上

总计

支持

35

45

80

不支持

15

5

20

总计

50

50

100

因为的观测值

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对延迟退休年龄政策的支持度有差异.

2抽到1人是45岁以下的概率为,抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为,故所求概率.

从不支持延迟退休的人中抽取8人,则45岁以下的应抽6人,45岁以上的应抽2.所以的可能取值为0,1,2.

.

故随机变量的分布列为:

0

1

2

所以.

点睛:本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,也考查了古典概型的概率计算问题,是中档题.

组卷:149次
难度:中等
知识点:统计案例
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14.

研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明:该校学生居住地到学校的距离(单位:千米)和学生花费在上学路上的时间(单位:分钟)有如下的统计资料:

到学校的距离(千米)

1.8

2.6

3.1

4.3

5.5

6.1

花费的时间(分钟)

17.8

19.6

27.5

31.3

36.0

43.2

如果统计资料表明有线性相关关系,试求:

1)判断是否有很强的线性相关性?

(相关系数的绝对值大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性,精确到0.01

2)求线性回归方程(精确到0.01);

3)将分钟的时间数据称为美丽数据,现从这6个时间数据中任取2个,求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.

参考数据:

参考公式:

【答案】

1有很强的线性相关性;(2;(3

【分析】

1)通过计算线性相关系数可得答案;(2)根据题意写出统计表,用统计表中的数据求出横标和纵标的平均数,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,写出线性回归方程;(3)根据(2)中求出的线性回归方程,求出符合要求的数据个数,再列出全部情况,由古典概型的公式,求出所求概率.

【详解】

1有很强的线性相关性

2)依题意得

所以

又因为

故线性回归方程为

3)由(2)可知,当时,,当时,,所以满足分钟的美丽数据共有3个,设3个美丽数据为,另3个不是美丽数据为,则从6个数据中任取2个共有15种情况,即,其中,抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况,即.所以从这6个数据中任取2个,抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为

【点睛】

线性回归方程的简单求解,与古典概型相结合,题目难度不大,对计算能力要求较高,属于中档题目.

组卷:129次
难度:容易
知识点:统计案例
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15.

改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月AB两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中AB两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

支付金额

支付方式

不大于2000

大于2000

仅使用A

27

3

仅使用B

24

1

)估计该校学生中上个月AB两种支付方式都使用的人数;

)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;

)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合()的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.

【答案】

400人;

)见解析.

【分析】

()由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数;

()利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率;

()结合概率统计相关定义给出结论即可.

【详解】

)由图表可知仅使用A的人数有30人,仅使用B的人数有25人,

由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人,

所以样本中两种支付方式都使用的有

所以全校学生中两种支付方式都使用的有(人).

)因为样本中仅使用B的学生共有25人,只有1人支付金额大于2000元,

所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.

)由()知支付金额大于2000元的概率为

因为从仅使用B的学生中随机调查1人,发现他本月的支付金额大于2000元,

依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的,所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化,且比上个月多.

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式及其应用,概率的定义与应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

组卷:145次
难度:中等
知识点:概率
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16.

201912月以来,湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例,并迅速在全国范围内开始传播,专家组认为,本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒,该病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为,某位患者在隔离之前,每天有位密切接触者,其中被感染的人数为,假设每位密切接触者不再接触其他患者.

1)求一天内被感染人数为的概率的关系式和的数学期望;

2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间,设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者,从某一名患者被感染,按第1天算起,第天新增患者的数学期望记为.

i)求数列的通项公式,并证明数列为等比数列;

ii)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率,降低后的患病概率,当取最大值时,计算此时所对应的值和此时对应的值,根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取

(结果保留整数,参考数据:

【答案】

1.

2)(i,证明见解析;(ii166480,戴口罩很有必要.

【分析】

1)由题意,被感染人数服从二项分布:,则可求出概率及数学期望;

2)(i)根据第天被感染人数为,及第天被感染人数为

作差可得可得,,可证,(ii)利用导数计算此时所对应的值和此时对应的值,根据计算结果说明戴口罩的必要性.

【详解】

1)由题意,被感染人数服从二项分布:

,

的数学期望.

2)(i)第天被感染人数为

天被感染人数为

由题目中均值的定义可知,

,且.

是以为首项,为公比的等比数列.

ii)令

.

上单调递增,在上单调递减.

.

则当.

.

.

戴口罩很有必要.

【点睛】

本题考查二项分布的概率及期望,数学期望与数列综合,考查综合分析及转化能力,考查知识的迁移能力,属于较难题.

组卷:155次
难度:偏难
知识点:概率
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17.

电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

电影类型

第一类

第二类

第三类

第四类

第五类

第六类

电影部数

好评率

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

)从电影公司收集的电影中随机选取部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

)随机选取部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;

)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加,哪类电影的好评率减少,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

【答案】

;(;()增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.

【分析】

)分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数,代入公式可得概率;()利用古典概型公式,计算没有获得好评的电影部数代入公式可得概率

)根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..

【详解】

)由题意知,样本中电影的总部数是

第四类电影中获得好评的电影部数是

故所求概率为

)设随机选取部电影,这部电影没有获得好评为事件B.

没有获得好评的电影共有部,

由古典概型概率公式得

)增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.

【点睛】

本题主要考查概率与统计知识,属于易得分题,应用古典概型求某事件的步骤:第一步判断本试验的结果是否为等可能事件,设出事件第二步,分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数第三步,利用公式求出事件的概率.

组卷:103次
难度:中等
知识点:概率
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18.

改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月AB两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中AB两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

交付金额(元)

支付方式

大于2000

仅使用A

18

9

3

仅使用B

10

14

1

)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月AB两种支付方式都使用的概率;

)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;

)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.

【答案】

()

()见解析;

()见解析.

【分析】

()由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值;

()首先确定X可能的取值,然后求得相应的概率值可得分布列,最后求解数学期望即可.

()由题意结合概率的定义给出结论即可.

【详解】

()由题意可知,两种支付方式都是用的人数为:人,则:

该学生上个月AB两种支付方式都使用的概率.

()由题意可知,

仅使用A支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占

仅使用B支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占

X可能的取值为0,1,2.

X的分布列为:

X

0

1

2

其数学期望:.

()我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下:

随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的,是不能预知的,随着试验次数的增多,频率越来越稳定于概率.

学校是一个相对消费稳定的地方,每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定,出现题中这种现象可能是发生了小概率事件”.

【点睛】

本题以支付方式相关调查来设置问题,考查概率统计在生活中的应用,考查概率的定义和分布列的应用,使学生体会到数学与现实生活息息相关.

组卷:137次
难度:中等
知识点:概率
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19.

为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设为事件选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会,求事件发生的概率;

(2)设为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】

1;(2.

【解析】

)由已知,有

所以事件发生的概率为.

)随机变量的所有可能取值为

所以随机变量的分布列为





















所以随机变量的数学期望

考点:古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.

组卷:181次
难度:中等
知识点:概率
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20.

20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:

(1)求频率直方图中a的值;

(2)分别求出成绩落在中的学生人数;

(3)从成绩在的学生中人选2人,求这2人的成绩都在中的概率.

【答案】

(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3

【详解】

1)据直方图知组距=10

,解得

2)成绩落在中的学生人数为

成绩落在中的学生人数为

3)记成绩落在中的2人为,成绩落在中的3人为

则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个:

其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个:

故所求概率为

组卷:111次
难度:容易
知识点:统计案例
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21.

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?

(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件抽取的2名同学来自同一年级,求事件M发生的概率.

【答案】

(1)3,2,2(2)(i)见解析(ii)

【详解】

分析:)结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

)(i)由题意列出所有可能的结果即可,共有21种.

(ii)由题意结合(i)中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P(M)=

详解:()由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

(Ⅱ)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

(ii)由(),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.

所以事件M发生的概率为P(M)=

点睛:本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

组卷:174次
难度:中等
知识点:统计案例
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22.

某地区为贯彻习近平总书记关于绿水青山就是金山银山的精神,鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗,经引种试验后发现,引种树苗的自然成活率为0.8,引种树苗的自然成活率均为.

1)任取树苗各一棵,估计自然成活的棵数为,求的分布列及

2)将(1)中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种种树苗,引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理,处理后成活的概率为0.8,其余的树苗不能成活.

求一棵种树苗最终成活的概率;

若每棵树苗引种最终成活后可获利300元,不成活的每棵亏损50元,该农户为了获利不低于20万元,问至少引种种树苗多少棵?

【答案】

1)详见解析;(2①0.96②700.

【分析】

1)依题意,得到的所有可能值为,求得相应的概率,得出随机变量的分布列,利用公式求得数学期望;

2)由(1)可知当时,取得最大值,利用概率的加法公式,即可求得一棵树苗最终成活的概率;棵树苗的成活棵数,棵树苗的利润,求得,要使,即可求解.

【详解】

1)依题意,的所有可能值为0123.

 

 

的分布列为:

0

1

2

3

所以 .

2)当时,取得最大值.

一棵树苗最终成活的概率为.

棵树苗的成活棵数,棵树苗的利润,

,要使,则有.

所以该农户至少种植700棵树苗,就可获利不低于20万元.

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解,以及期望的实际应用问题,对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值,计算得出概率,列出离散型随机变量概率分布列,最后按照数学期望公式计算出数学期望,其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

组卷:115次
难度:偏难
知识点:概率
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23.

某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;

2)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】

1;(2 分布列见解析,

【详解】

1)设选出的3名同学来自互不相同的学院为事件

2)随机变量的所有可能值为0123

随机变量的分布列为



0

1

2

3











 随机变量的数学期望

组卷:196次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
24.

某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为123的人数分别为334,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

A为事件选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;

X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】

1 ; (2.

【分析】

1)可根据题意分别计算出10人中选出2以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目,然后通过概率计算公式即可得出结果;

2)由题意知随机变量的所有可能取值,然后计算出每一个可能取值所对应的概率值,写出分布列,求出数学期望值.

【详解】

1)由已知有

所以事件的发生的概率为

2)随机变量的所有可能的取值为012

所以随机变量的分布列为:

0

1

2

数学期望为.

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键,考查推理能力,是中档题.

组卷:117次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
25.

为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标xy的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;

)从图中ABCD四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E);

)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

【答案】

10.32)见解析(3)服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

【详解】

)由图知,在服药的50名患者中,指标的值小于60的有15人,

所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标的值小于60的概率为.

)由图知,A,B,C,D四人中,指标的值大于1.7的有2人:AC.

所以的所有可能取值为0,1,2.

.

所以的分布列为

0

1

2

 

的期望.

)在这100名患者中,服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

【名师点睛】

求分布列的三种方法:

1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列;

2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列;

3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列.

组卷:187次
难度:中等
知识点:概率
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26.

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为,且乙投球2次均未命中的概率为.

)求乙投球的命中率

)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.

【答案】

的分布列为



0

1

2

3











的数学期望

【详解】

试题分析:对于问题(I)由题目条件并结合间接法,即可求出乙投球的命中率;对于问题(II),首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况,再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率,就可得到的分布列.

试题解析:(I)设甲投球一次命中为事件乙投球一次命中为事件.

由题意得解得(舍去),所以乙投球的命中率为.

II)由题设知(I)知

可能取值为

的分布列为

 

考点:1、概率;2、离散型随机变量及其分布列.

组卷:184次
难度:中等
知识点:概率
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27.

2019年女排世界杯中,中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠,为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用53胜制,前4局比赛采用25分制,每个队只有赢得至少25分,并同时超过对方2分时,才胜1局;在决胜局(第五局)采用15分制,每个队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1.现有甲乙两队进行排球比赛:

1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;

2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为,乙发球时甲赢1分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛,求x的取值及相应的概率px.

【答案】

12x的取值为24,  .

【分析】

1)先确定甲队最后赢得整场比赛的情况,再分别根据独立事件概率乘法公式求解,最后根据互斥事件概率加法公式得结果;

2)先根据比赛规则确定x的取值,再确定甲赢得整场比赛的情况,最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.

【详解】

1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢,

所以甲队最后赢得整场比赛的概率为

2)根据比赛规则,x的取值只能为24,对应比分为

两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率为

两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为.

【点睛】

本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式,考查综合分析求解能力,属中档题.

组卷:146次
难度:偏难
知识点:概率
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组卷/试题篮
28.

2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额.

1)完成列联表,并回答能否有的把握认为对冰球是否有兴趣与性别有关

有兴趣

没兴趣

合计

55

合计

2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至少有2人对冰球有兴趣的概率.

附表:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

【答案】

(1)有(2)

【分析】

(1)根据题中数据得到列联表,然后计算出与临界值表中的数据对照后可得结论.(2)由题意得概率为古典概型,根据古典概型概率公式计算可得所求.

【详解】

1)根据已知数据得到如下列联表

有兴趣

没有兴趣

合计

45

10

55

30

15

45

合计

75

25

100

由列联表中的数据可得

因为

所以有90%的把握认为对冰球是否有兴趣与性别有关

(2)5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C,对冰球没有兴趣的2人为m、n

则从这5人中随机抽取3人,所有可能的情况为:(A,m,n),(B,m,n),(C,m,n),(A,B,m),

(A,B,n),(B,C,m),(B,C,n),(A,C,m),(A,C,n),(A,B,C),10种情况,

其中3人都对冰球有兴趣的情况有(A,B,C),1种,2人对冰球有兴趣的情况有(A,B,m),(A,B,n),(B,C,m),(B,C,n),(A,C,m),(A,C,n),6种,

所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种,

因此,所求概率为

【点睛】

由于独立性检验有其独特的作用其原理不难理解和掌握但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性对独立性检验的考查多以解答题的形式出现一般为容易题多与概率、统计等内容综合命题.

组卷:153次
难度:中等
知识点:统计案例
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29.

在某市创建全国文明城市的过程中,创文专家组对该市的中小学进行了抽检,其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评.如表是被抽检到的5所学校的教师和学生的测评成绩(单位:分):

学校

教师测评成绩

90

92

93

94

96

学生测评成绩

87

89

89

92

93

1)建立关于的回归方程

2)现从5所学校中随机选2所派代表参加座谈,求两所学校至少有1所被选到的概率.

附:.

【答案】

12

【分析】

1)由题求出,再求得,代入求得回归方程为

2)由题从5所学校中随机选2所,共10种,两所学校至少有1所被选到有7种,求得概率即可.

【详解】

解:(1)依据题意计算得:

.

所求回归方程为.

2)从5所学校中随机选2所,具体情况为:

,一共有10.

两所学校至少有1所被选到的为:

,一共有7.

它们都是等可能发生的,所以两所学校至少有1所被选到的概率.

【点睛】

本题考查了线性回归方程和概率的综合,计算仔细是解题的关键,属于基础题.

组卷:118次
难度:基础
知识点:统计案例
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30.

设有关于的一元二次方程

)若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

)若是从区间任取的一个数,是从区间任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

【答案】

【分析】

1)本题是一个古典概型,可知基本事件共12个,方程时有实根的充要条件为,满足条件的事件中包含9个基本事件,由古典概型公式得到事件发生的概率.

2)本题是一个几何概型,试验的全部约束所构成的区域为.构成事件的区域为.根据几何概型公式得到结果.

【详解】

解:设事件方程有实数根.当时,方程有实数根的充要条件为

)基本事件共12个:

其中第一个数表示的取值,第二个数表示的取值.事件中包含9个基本事件,事件发生的概率为

)实验的全部结果所构成的区域为.构成事件的区域为,所求的概率为

【点睛】

本题考查几何概型和古典概型,放在一起的目的是把两种概型加以比较,属于基础题.

组卷:197次
难度:容易
知识点:概率
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组卷/试题篮
31.

在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,保障抗疫一线医疗物资供应,在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时,狠抓质量管理,不定时抽查口罩质量,该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下六组:,得到如下频率分布直方图.



1)求出直方图中的值;

2)利用样本估计总体的思想,估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表,中位数精确到0.01);

3)现规定:质量指标值小于70的口罩为二等品,质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩,并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析,试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.

【答案】

12)平均数为71,中位数为73.333

【分析】

1)根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1,即可求得的值;

2)由平均数与中位数的求法,结合频率分布直方图即可得解.

3)由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量,利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况,即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.

【详解】

1)由

.

2)平均数为

设中位数为

,得.

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.

3)由频率分布直方图可知:100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个,

由分层抽样可知,所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2.

记这3个一等品为2个二等品为,则从5个口罩中抽取2个的可能结果有:,共10种,

其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有:.6.

故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法,列举法求古典概型概率,属于基础题.

组卷:170次
难度:容易
知识点:统计案例
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32.

2018816日,中共中央政治局常务委员会召开会议,听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报,中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调,疫苗关系人民群众健康,关系公共卫生安全和国家安全.因此,疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定,疫苗在上市前必须经过严格的检测,并通过临床实验获得相关数据,以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下:

未感染病毒

感染病毒

总计

未注射疫苗

40

注射疫苗

60

总计

100

100

200

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到感染病毒的小白鼠的概率为.

1)求列联表中的数据的值

2)能否有把握认为注射此种疫苗有效

3)在感染病毒的小白鼠中,按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析,然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实,求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.

附:.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

【答案】

1,(2)没有把握认为注射此种疫苗有效.3.

【分析】

(1)结合题表,列出方程,即可得出答案.(2)利用卡方计算公式计算(3)先列出所有可能的情况,列举出满足条件的个数,然后利用古典概型计算公式.

【详解】

1)由题意,易得

2)由

所以没有把握认为注射此种疫苗有效.

3)由于在感染病毒的小白鼠中,按未注射疫苗和注射疫苗的比例为故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗,用表示,2只已注射疫苗,用表示从这五只小白鼠中随机抽取3只,可能的情况共有以下10种:

.

其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种:

所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.

【点睛】

本道题目考查了卡方公式和古典概型计算公式注意公式牢记,同时明白利用古典概型计算公式,计算结果,即可得出答案.

组卷:101次
难度:偏难
知识点:统计案例
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33.

已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n  ,n 2,这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3……m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3……m+n.

1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(x)x的数学期望,证明

【答案】

12)见解析

【解析】

试题分析:(1)根据条件先确定总事件数为,而编号为2的抽屉内放的是黑球的事件数为,最后根据古典概型的概率公式即可求概率;(2)先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数为,所对应的概率,再根据数学期望公式得,利用性质,进行放缩变形:,最后利用组合数性质化简,可得结论.

试题解析::(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率:

(2) 随机变量 X 的概率分布为:

X

P

随机变量 X 的期望为:

.

所以

.

点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:

1判断取值,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;

2探求概率,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;

3写分布列,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;

4求期望值,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.

组卷:183次
难度:很难
知识点:概率
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组卷/试题篮
34.

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A33个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个,求这两个国家包括A1,但不包括B1的概率.

【答案】

(1) ;(2)

【解析】

试题分析:利用列举法把试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)求出事件A的概率.

试题解析:

)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:

 ,共.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:

,个,则所求事件的概率为:.

)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:

,共个,

包含但不包括的事件所包含的基本事件有:,共个,

所以所求事件的概率为:.

【考点】古典概型

【名师点睛】(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件数有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)=求出事件A的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.

组卷:155次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
35.

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为

1)求频率分布直方图中的值;

2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;

3)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在的概率.

【答案】

10.006;(2;(3.

【分析】

1)在频率分布直方图中,由频率总和即所有矩形面积之和为,可求

2)在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为,由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为

3)受访职工评分在的有3人,记为,受访职工评分在的有2 人,记为,列出从这5人中选出两人所有基本事件,即可求相应的概率.

【详解】

1)因为

所以

2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为

3)受访职工评分在的有:50×0.006×10=3()

即为

受访职工评分在的有: 50×0.004×10=2(),即为.

从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是

又因为所抽取2人的评分都在的结果有1种,即

故所求的概率为

【点睛】

本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型,属中档题;利用频率分布直方图解题的时,注意其表达的意义,同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识;在利用古典概型解题时,要注意列出所有的基本事件,千万不可出现重、漏的情况.

组卷:113次
难度:中等
知识点:统计案例
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组卷/试题篮
36.

甲、乙两人都准备于下午12:00-13:00之间到某车站乘某路公交车外出,设在12:00-13:00之间有四班该路公交车开出,已知开车时间分别为12:20,12:30,12:40,13:00,分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率.

(1)他们各自选择乘坐每一班车是等可能的;

(2)他们各自到达车站的时刻是等可能的(有车就乘).

【答案】

(1);(2)见解析.

【解析】

试题分析:(1)为古典概型,可得总数为4×4=16种,符合题意得为4种,代入古典概型得公式可得;
2)为几何概型,设甲到达时刻为x,乙到达时刻为y,可得0≤x≤600≤y≤60,作出图象由几何概型的公式可得.

试题解析:

(1)他们乘车总的可能结果数为16,

乘同一班车的可能结果数为4,

由古典概型知甲乙乘同一班车的概率为P=.

(2)利用几何概型,设甲到达时刻为x,乙到达时刻为y,

可得0≤x≤60,0≤y≤60.

试验总结果构成区域为图①,

乘坐同一班车的事件所构成的区域为图4个黑色小方格,

故所求概率为

P=.

点睛:本题主要考查了几何概型的概率问题,属于中档题.解决此类问题,首先要分析试验结果是不是无限个,其次要分析每个结果是不是等可能的,符合以上两点才是几何概型问题,确定是几何概型问题后,要分析时间的度量是用长度还是面积,体积等,然后代入几何概型概率公式即可.

组卷:141次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
37.

20172月底,90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章,某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的100名学生作为调查对象,对是否准备参加2017年的自主招生考试进行了问卷调查,其中准备参加”“不准备参加待定的人数如表:

准备参加

不准备参加

待定

男生

30

6

15

女生

15

9

25

(1)在所有参加调查的同学中,在三种类型中用分层抽样的方法抽取20人进行座谈交流,则在准备参加”“不准备参加待定的同学中应各抽取多少人?

(2)准备参加的同学中用分层抽样方法抽取6,从这6人中任意抽取2,求至少有一名女生的概率.

【答案】

(1)见解析;(2)0.6.

【解析】

试题分析:(1)根据分层抽样原理,分层抽样时的比值为,即可求出在准备参加不准备参加待定的同学中应各抽取多少人;
2)求出所抽取的6人中男生应抽4人,女生抽2人,用列举法计算所有的基本事件数,求出对应的概率即可.

试题解析:

(1)分层抽样时的抽样比为=0.2,所以,准备参加的同学中应抽取(30+15)×0.2=9(),不准备参加的同学中应抽取(6+9)×0.2=3(),待定的同学中应抽取(15+25)×0.2=8().

(2)准备参加的同学中用分层抽样方法抽取6,

则男生抽4,女生抽2,男生4人分别记作1,2,3,4,女生2人分别记作5,6.

6人中任取2人共有以下15种情况:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),

(4,5),(4,6),

(5,6).

其中至少有一名女生的情况共有9:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

所以,至少有一名女生的概率P==0.6.

组卷:130次
难度:中等
知识点:统计案例
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三、填空题(共9题)
1.

已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率:先由计算器算出09之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:

5727 0293 7140 9857 0347

4373 8636 9647 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011

3661 9597 7424 6710 4281

据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_____.

【答案】

0.75

【解析】

由题意知,

20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:

5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,

15,

故所求概率为=0.75.

故答案为:0.75.

点睛:古典概型中,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求,注意在确定基本事件时可以看成是有序的,如不同,有时也可以看成是无序的,如相同;(3)排列组合法:在求一些较复杂的基本亊件的个数时,可利用排列或组合的知识.本题是利用方法(1)将基本事件一一列举后求概率的.

组卷:140次
难度:容易
知识点:概率
查看答案
试题详情
组卷/试题篮
2.

从标有的五张卡中,依次抽出张,则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为________

【答案】

【分析】

设事件A表示第一张抽到奇数,事件B表示第二张抽取偶数,则PAPAB,利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率.

【详解】

解:从标有12345的五张卡片中,依次抽出2张,

设事件A表示第一张抽到奇数,事件B表示第二张抽取偶数

PAPAB

则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为:

PA|B

【点睛】

本题考查概率的求法,考查条件概率等基础知识,考查运算求解能力.

组卷:144次
难度:中等
知识点:概率
查看答案
试题详情
组卷/试题篮
3.

任取两个小于1的正数x、y,若x、y、1能作为三角形的三条边长,则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________

【答案】

【分析】

求出这三个边正好是钝角三角形的三个边的等价条件,根据几何概型的概率公式,即可得到结论

【详解】

根据题意可得,三边可以构成三角形的条件为:

.

这三个边正好是钝角三角形的三个边,应满足以下条件:

,对应的区域如图,

由圆面积的

直线和区域围成的三角形面积是

x、y、1能作为三角形的三条边长,则它们能构成钝角三角形三条边长的概率

故答案为

【点睛】

本题主要考查面积型的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

组卷:199次
难度:偏难
知识点:概率
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试题详情
组卷/试题篮
4.

2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.

【答案】

【解析】

2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有(数学1,数学2,语文),(数学1,语文,数学2),(数学2,数学1,语文),(数学2,语文,数学1),(语文,数学1,数学2),(语文,数学2,数学1)共6个,其中2本数学书相邻的有(数学1,数学2,语文),(数学2,数学1,语文),(语文,数学1,数学2),(语文,数学2,数学1)共4个,故2本数学书相邻的概率

组卷:128次
难度:容易
知识点:概率
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试题详情
组卷/试题篮
5.

3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.

【答案】

.

【分析】

先求事件的总数,再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.

【详解】

3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务,共有种情况.

若选出的2名学生恰有1名女生,有种情况,

若选出的2名学生都是女生,有种情况,

所以所求的概率为.

【点睛】

计数原理是高考考查的重点内容,考查的形式有两种,一是独立考查,二是与古典概型结合考查,由于古典概型概率的计算比较明确,所以,计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意,明确分类”“分步,根据顺序有无,明确排列”“组合”.

组卷:187次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
6.

某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________

【答案】

【解析】

分析:先确定总基本事件数,再从中确定满足条件的基本事件数,最后根据古典概型概率公式求概率.

详解:从5名学生中抽取2名学生,共有10种方法,其中恰好选中2名女生的方法有3种,因此所求概率为

点睛:古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有有序无序区别的题目,常采用树状图法.

(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法(理科):适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

组卷:154次
难度:中等
知识点:概率
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组卷/试题篮
7.

在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱异面的概率为_____

【答案】

【解析】试题分析:在三棱锥的六条棱中任选两条共,其中任两条棱的关系为相交或异面,其中互为异面直线的有,故所求事件的概率为,故填.

考点:古典概型.

【方法点晴】本题主要考查学生的是异面直线和古典概型两个知识点的交汇,考查了空间想象能力以及分析问题与解决问题的能力,属于中档题目.因为三棱锥的六条棱中任意选择两条都是等可能的,故找到两条棱有公共点的结果总数与任选两条的结果总数作比即为所求概率,这里使用了正难则反,先求了所求概率的对立事件,由于每条侧棱与其对棱互为异面直线,所以异面直线共有.

组卷:139次
难度:容易
知识点:概率
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试题详情
组卷/试题篮
8.

有编号互不相同的五个砝码,其中克、克、克砝码各一个,克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为克的概率是_____

【答案】

【分析】

求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可.

【详解】

编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,

从中随机选取三个,3个数中含有1222,没有23种情况,

所有的事件总数为:=10,

这三个砝码的总质量为9克的事件只有:531522两个,

所以:这三个砝码的总质量为9克的概率是:=

故答案为

【点睛】

有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数:1.基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助树状图列举;2.注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.

组卷:113次
难度:容易
知识点:概率
查看答案
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组卷/试题篮
9.

a∈(0,10),a≠1,则函数f(x)=logax(0,+∞)内为增函数,g(x)=(0,+∞)内也为增函数的概率为_____.

【答案】

【解析】

由条件知,a的所有可能取值为a∈(0,10),a≠1,

使函数f(x),g(x)(0,+∞)内都为增函数的a的取值为所以1<a<2,

由几何概型概率公式知,P=.

故答案为:.

组卷:198次
难度:容易
知识点:概率
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组卷/试题篮
试卷统计
试题总数:
100
总体难度:
中等
题型统计
大题类型
题目数
占比
选择题
54
54.0%
解答题
37
37.0%
填空题
9
9.0%
知识点统计
知识点
题目数
占比
不等式
2
2.0%
概率
79
79.0%
圆与方程
3
3.0%
计数原理
3
3.0%
统计案例
13
13.0%
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