高中数学 数学教案-复数的向量表示 教案

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高中数学 数学教案-复数的向量表示 教案

不错,我顶


  • 教学目标
      (1)使学生正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;
      (2)使学生掌握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系;
      (3)通过学习组合知识,让学生掌握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;
      (4)通过对排列、组合问题求解与剖析,培养学生学习兴趣和思维深刻性,学生具有严谨的学习态度。


    教学建议

    一、知识结构

    二、重点难点分析

      本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式,组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用,并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

      组合与组合数,也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看,从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合(无序集),相当于一个组合,而这种集合的个数,就是相应的组合数。

      解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步.切记:排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分类为加、分步为乘).

    三、教法设计

      1.对于基础较好的学生,建议把排列与组合的概念进行对比的进行学习,这样有利于搞请这两组概念的区别与联系.

      2.学生与老师可以合编一些排列组合问题,如“45人中选出5人当班干部有多少种选法?”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法?”这是两个相近问题,同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题,教师要引导学生辨认哪个是排列问题,哪个是组合问题.这样既调动了学生学习的积极性,又在编题辨题中澄清了概念.

      为了理解排列与组合的概念,建议大家学会画排列与组合的树图.如,从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为:

    排列树图      

     

     

     

     

      由排列树图得到,从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个,它们分别是:abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

    组合树图

      由组合树图可得,从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个,它们是(abc),(abd),(acd),(bcd).

      从以上两组树图清楚的告诉我们,排列树图是对称的,组合图式不是对称的,之所以排列树图具有对称性,是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会,哪一个都有在第二位的机会,哪一个都有在第三位的机会,而组合只考虑字母不考虑顺序,为实现无顺序的要求,我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后,固定了死顺序等于无顺序,这样组合就有了自己的树图.

      学会画组合树图,不仅有利于理解排列与组合的概念,还有助于推导组合数的计算公式.

      3.排列组合的应用问题,教师应从简单问题问题入手,逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题,最后在设及排列与组合的综合问题.

      对于每一道题目,教师必须先让学生独立思考,在进行全班讨论,对于学生的每一种解法,教师要先让学生判断正误,在给予点播.对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解,这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力,在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案,总结解题规律.对于学生解题中的常见错误,教师一定要讲明道理,认真分析错误原因,使学生在是非的判断得以提高.

      4.两个性质定理教学时,对定理1,可以用下例来说明:从4个不同的元素abcd里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是

      这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的.

      对定理2,可启发学生从下面问题的讨论得出.从n个不同元素 ,…, 里每次取出m个不同的元素( ),问:(1)可以组成多少个组合;(2)在这些组合里,有多少个是不含有 的;  (3)在这些组合里,有多少个是含有 的;(4)从上面的结果,可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理2.

      对于 ,和 一样,是一种规定.而学生常常误以为是推算出来的,因此,教学时要讲清楚.

     

     

    教学设计示例

    教学目标

      (1)使学生正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;

      (2)使学生掌握组合数的计算公式;

      (3)通过学习组合知识,让学生掌握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;

    教学重点难点

      重点是组合的定义、组合数及组合数的公式;

      难点是解组合的应用题.

    教学过程设计

    (-)导入新课

      (教师活动)提出下列思考问题,打出字幕.

      [字幕]一条铁路线上有6个火车站,(1)需准备多少种不同的普通客车票?(2)有多少种不同票价的普通客车票?上面问题中,哪一问是排列问题?哪一问是组合问题?

      (学生活动)讨论并回答.

      答案提示:(1)排列;(2)组合.

      [评述]问题(1)是从6个火车站中任选两个,并按一定的顺序排列,要求出排法的种数,属于排列问题;(2)是从6个火车站中任选两个并成一组,两站无顺序关系,要求出不同的组数,属于组合问题.这节课着重研究组合问题.

      设计意图:组合与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题.

    (二)新课讲授

      [提出问题 创设情境]

      (教师活动)指导学生带着问题阅读课文.

      [字幕]1.排列的定义是什么?

      2.举例说明一个组合是什么?

      3.一个组合与一个排列有何区别?

      (学生活动)阅读回答.

      (教师活动)对照课文,逐一评析.

      设计意图:激活学生的思维,使其将所学的知识迁移过渡,并尽快适应新的环境.

      【归纳概括  建立新知】

      (教师活动)承接上述问题的回答,展示下面知识.

      [字幕]模型:从 个不同元素中取出 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.如前面思考题:6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票,是从6个元素中取出2个元素的一个组合.

      组合数:从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,称之,用符号 表示,如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .

      [评述]区分一个排列与一个组合的关键是:该问题是否与顺序有关,当取出元素后,若改变一下顺序,就得到一种新的取法,则是排列问题;若改变顺序,仍得原来的取法,就是组合问题.

    (学生活动)倾听、思索、记录.

    教师活动)提出思考问题.

    [投影] 的关系如何?

    (师生活动)共同探讨.求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ,可分为以下两步:

      第1步,先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为

      第2步,求每一个组合中 个元素的全排列数为

      根据分步计数原理,得到

    [字幕]公式1:

      公式2:

    (学生活动)验算 ,即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票.

      设计意图:本着以认识概念为起点,以问题为主线,以培养能力为核心的宗旨,逐步展示知识的形成过程,使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去.

    【例题示范  探求方法】

    教师活动)打出字幕,给出示范,指导训练.

    [字幕]例1  列举从4个元素 中任取2个元素的所有组合.

    例2  计算:(1) ;(2)

    (学生活动)板演、示范.

    教师活动)讲评并指出用两种方法计算例2的第2小题.

    [字幕]例3  已知 ,求 的所有值.

    (学生活动)思考分析.

      解  首先,根据组合的定义,有

        

      其次,由原不等式转化为

        

      即

      解得

      综合①、②,得 ,即

      [点评]这是组合数公式的应用,关键是公式的选择.

    设计意图:例题教学循序渐进,让学生巩固知识,强化公式的应用,从而培养学生的综合分析能力.

      【反馈练习  学会应用】

      (教师活动)给出练习,学生解答,教师点评.

      [课堂练习]课本P99练习第2,5,6题.

      [补充练习]

      [字幕]1.计算:

      2.已知 ,求 .

     (学生活动)板演、解答.

    设计意图:课堂教学体现以学生为本,让全体学生参与训练,深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用.

    【点评矫正  交流提高】

    教师活动)依照学生的板演,给予指正并总结.

    补充练习答案:

      1.解:原式:

      2.解:由题设得

        

      整理化简得

      解之,得 (因 ,舍去),

      所以 ,所求

      [字幕]小结:

      1.前一个公式主要用于计算具体的组合数,而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证.

      2.在解含组合数的方程或不等式时,一定要注意组合数的上、下标的限制条件.

    (学生活动)交流讨论,总结记录.

      设计意图:由“实践——认识——一实践”的认识论,教学时抓住“学习—一练习——反馈———小结”这些环节,使教学目标得以强化和落实.

    (三)小结

    (师生活动)共同小结.

    本节主要内容有

      1.组合概念.

      2.组合数计算的两个公式.

    (四)布置作业

      1.课本作业:习题10 3第1(1)、(4),3题.

      2.思考题:某学习小组有8个同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛,要求每科均有1人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中,男、女同学各有多少人?

      3.研究性题:

      在 边上除顶点 外有 5个点,在 边上有 4个点,由这些点(包括 )能组成多少个四边形?能组成多少个三角形?

        (五)课后点评

        在学习了排列知识的基础上,本节课引进了组合概念,并推导出组合数公式,同时调控进行训练,从而培养学生分析问题、解决问题的能力.

        作业参考答案

        2.解;设有男同学 人,则有女同学 人,依题意有 ,由此解得 或2.即男同学有5人或6人,女同学相应为3人或2人.

        3.能组成 (注意不能用 点为顶点)个四边形, 个三角形.

     

     

    探究活动

      同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,那么四张不同的分配万式可有多少种?

      解  设四人分别为甲、乙、丙、丁,可从多种角度来解.

      解法一  可将拿贺卡的情况,按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类,即:

      甲拿乙制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.

      甲拿丙制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.

      甲拿丁制作的贺卡时,则贺卡有3种分配方法.

    由加法原理得,贺卡分配方法有3+3+3=9种.

      解法二  可从利用排列数和组合数公式角度来考虑.这时还存在正向与逆向两种思考途径.

      正向思考,即从满足题设条件出发,分步完成分配.先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张,有 种取法,剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张,也有 种,最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡,其取法只有互取对方制作贺卡1种取法.根据乘法原理,贺卡的分配方法有 (种).

      逆向思考,即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法.不满足题设条件的取法为,其中只有1人取自己制作的贺卡,其中有2人取自己制作的贺卡,其中有3人取自己制作的贺卡(此时即为4人均拿自己制作的贺卡).其取法分别为   1.故符合题设要求的取法共有 (种).

      说明(1)对一类元素不太多而利用排列或组合计算公式计算比较复杂,且容易重复遗漏计算的排列组合问题,常可采用直接分类后用加法原理进行计算,如本例采用解法一的做法.

      (2)设集合 ,如果S中元素的一个排列 满足 ,则称该排列为S的一个错位排列.本例就属错位排列问题.如将S的所有错位排列数记为 ,则 有如下三个计算公式(李宇襄编著《组合数学》,北京师范大学出版社出版):

      ①

      ②

      ③