如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： 
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l： 
的距离，若
,求
的值.
答案
解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=
,
所以双曲线的方程为x2-
=1.
（II）解法一：
由（I）及下图，易知|PN|
1,因|PM|=2|PN|2, ①
知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②
将②代入①，得2|PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=
,
所以|PN|=
.
因为双曲线的离心率e=
=2,直线l: x=
是双曲线的右准线，故
=e=2,
所以d=|PN|,因此
解法二：
设P（x, y），因|PN|1知|PM|=2|PN|22|PN|>|PN|,
故P在双曲线右支上，所以x1.
由双曲线方程有y2=3x2-3.
因此
从而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2（4x2-4x+1），即8x2-10x+1=0.
所以x=
（舍去x=）.
有|PM|=2x+1=
d=x-=
.
故
