如图, 直线y=
x与抛物线y=
x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1） 求点Q的坐标；
（2） 当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B） 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
答案
解：（1） 解方程 y=
x 得 x1=－4, x2=8
y=
x2－4 y1=－2, y2=4
即A（－4,－2）,B（8,4）, 从而AB的中点为M（2,1）.
由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=（x－2）.
令y=－5, 得x=5, ∴Q（5,－5）
（2） 直线OQ的方程为x+y=0, 设P（x, 
x2－4）.
∵点P到直线OQ的距离d=
=
,
,∴SΔOPQ=
=
.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4
－4或4－4<x≤8. ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.
