给定有限个正数满足条件：每个数都不大于50且总和＝1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：

    首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；

    然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，直至第组（余差为）把这些数全部分完为止.

   （I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数

   (II)当构成第组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明;

   (III)对任何满足条件T的有限个正数，证明：.

  解：（I）.除第N组外的每组至少含有个数.

    （II）当第n组形成后，因为，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第n组的余差，即

    ,

    由此可得.

    因为，所以.

    （III）用反证法证明结论，假设，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差，且,

    故余下的每个数 .   （*）

    因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于,

    此时第11组的余差,

    这与（*）式中矛盾，所以.