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使用次数:130
更新时间:2009-03-16
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1.

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,点ESC上的一点。

)求证:平面EBD平面SAC

)设SA=4AB=2,求点A到平面SBD的距离;

)当SA=AB时,求二面角B-SC-D的大小。

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题型:计算题
知识点:空间几何体
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【答案】

解法一:

证明():连结AC∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,

∵ SA底面ABCDBDÌABCD∴SABD

∵SAÇAC=A∴BD^SAC

∵BDÌEBD平面EBD平面SAC

解():由 )知,BD^SAC

∵BDÌSBD平面SBD平面SAC

ACÇBD=O,则平面SBDÇ平面SAC=SO

AAF^SOSO于点F,AF^SBD

所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离。

∵ABCD是正方形,AB=2∴AO=

∵SA=4△SAORt△∴SO=

∵SO×AF=SA×AO∴AF=

A到平面SBD的距离为

解():作BM⊥SCM,连结DM

∵SA底面ABCDAB=AD∴SB=SD

∵CB⊥ABCD⊥AD∴CB⊥SBCD⊥SD

∴△SBC≌△SDC∴DM⊥SC

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角,BM=DM.

在正方形ABCD中,设AB=a,则AC=BD=a,

∵AB=SA∴SB=aSC=a,

∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=a.

∴cos∠BMD=

二面角B-SC-D的大小为120

解法二:

证明()同解法一。

∵ABCD是正方形,SA底面ABCD

∴SA⊥ABSA⊥ADAB⊥AD

如图,建立直解坐标系A-xyz

A000),B200),D020),S004),

设平面SBD的法向量为,则

,而=20-4),=02-4

∴x=2,y=2,,则点A到平面SBD的距离d==

)设SA=AB=a,则A000),Ba00),C(a,a,0),D0a0),S00a);设平面SBC的法向量=(x1,y1,-1),平面SDC的法向量=x2,y2,1

,=0a,0,=(-a,0,0),=(a,a,-a)

,∴x1=-1,y1=0x2=0,y2=1

=(-1,0,-1),=(0, 1,1), ∴cos<,>==,

二面角B-SC-D的大小为120

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 柱、锥、台、球的结构特征 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 柱、锥、台、球的结构特征的定义

棱柱:

(1)概念:如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面,其余各个面都叫棱柱的侧面,两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱,棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。
(2)分类:①按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;
②按底面边数的多少分类:底面分别为三角形,四边形,五边形…、分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,…

棱锥:

(1)概念:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各个面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面,棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面,棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱,棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高,过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
(2)分类:按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥…
(3)正棱锥的概念:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。

棱台:

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

圆柱的概念:

以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
旋转轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。

圆锥的概念

以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体;

圆台的概念:

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分; 

球的定义:

第一定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体,简称球。
半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。
第二定义:球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。

球的截面与大圆小圆:

截面:用一个平面去截一个球,截面是圆面;
大圆:过球心的截面圆叫大圆,大圆是所有球的截面中半径最大的圆。
球面上任意两点间最短的球面距离:是过这两点大圆的劣弧长;
小圆:不过球心的截面圆叫小圆。

◎ 柱、锥、台、球的结构特征的知识扩展
1、棱柱:
(1)概念:如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面,其余各个面都叫棱柱的侧面,两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱,棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。
(2)分类:①按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱;
②按底面边数的多少分类:底面分别为三角形,四边形,五边形…、分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,…
(3)性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形;
②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形;
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
2、棱锥:
(1)概念:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各个面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面,棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面,棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱,棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高,过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
(2)分类:按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥…
(3)性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
(4)正棱锥的概念:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。
性质:①正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等;
②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
3、棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
4、圆柱:
(1)概念:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
旋转轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。
(2)几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
5、圆锥:
(1)概念:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体;
(2)几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
6、圆台:
(1)概念:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分;
(2)几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
7、球:
(1)球的定义
第一定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体,简称球。
半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。
第二定义:球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。
(2)球的截面与大圆小圆
截面:用一个平面去截一个球,截面是圆面;
大圆:过球心的截面圆叫大圆,大圆是所有球的截面中半径最大的圆。
球面上任意两点间最短的球面距离:是过这两点大圆的劣弧长;
小圆:不过球心的截面圆叫小圆。
◎ 柱、锥、台、球的结构特征的特性

棱柱的性质:

①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等的矩形;
②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形;
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

棱锥的性质:

如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。

正棱锥性质:

①正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等;
②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。

圆柱的几何特征:

①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

圆锥的几何特征:

①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 

圆台的几何特征:

①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

球的截面的性质

性质1:球心和截面圆心的连线垂直于截面;
性质2:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系:r2=R2-d2
 
 

◎ 柱、锥、台、球的结构特征的教学目标
1、认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征。
2、会运用这些特征描述现实生活中简单物理的结构。
◎ 柱、锥、台、球的结构特征的考试要求
能力要求:知道
课时要求:13
考试频率:必考
分值比重:2

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