已知a>0,a∈R,函数
(I)设曲线y=在点(1,f(1))处的切线为直线l,若直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求实数a的值;
(II)求函数的单调区间;
(III)求函数在[0,1]上的最小值.
解:(I),
(II)
(III)①当2-≤0,即0<a≤
时,f(x)在[0,1]上是减函数,
∴f(x)最小值为f(1)=a;
②当0<2-<1,即
<a<1时,f(x)在(0,2-
)上是增函数,
在(2-,1)上是减函数
则比较f(0)=ln2和f(1)=a两值大小,
∴当<a<ln2时,最小值为a;
当ln2≤a<1时,最小值为ln2
③当2-≥1,即a≥1时,f(x)在[0,1]上增函数.
∴f(x)最小值为f(0)=ln2
综合可知:当0<a<ln2时,f(x)min=a;当a≥ln2时,f(x)min=ln2.
平均变化率:
一般地,对于函数y =f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用
表示,即平均变化率
上式中的值可正可负,但
不为0.f(x)为常数函数时,
瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当
时平均速度的极限,即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)为当d趋于0时的极限.
函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义:
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作
或
,即
。
导函数:
如果函数y =f(x)在开区间(a,6)内的每一点都可导,则称在(a,b)内的值x为自变量,以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a,b)内的导函数,简称为f(x)在(a,b)内的导数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=
切线及导数的几何意义:
(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=。
瞬时速度特别提醒:
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度,再对平均速度取极限,
函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:
①当时,比值
的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若
的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
②自变量的增量可以为正,也可以为负,还可以时正时负,但
.而函数的增量
可正可负,也可以为0.
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
导函数的特点:
①导数的定义可变形为:
②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数,
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数,
④并不是所有函数都有导函数.
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数
在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.
⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).
导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒:
①利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函数在x= x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x= x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y =f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,
④显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<o,切线与x轴正向的夹角为钝角;f(x0) =0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.
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