（04年北京卷文）(14分)
如图,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M.求:
(Ⅰ)三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(Ⅱ)该最短路线的长及
的值;
(Ⅲ)平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.
答案
解析：(Ⅰ)正三棱柱ABC―A1B1C1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为
(Ⅱ)如图,将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120º使其
侧面AA1C1C在同一平面上,点B运动到点D的位置,连接DC1交AA1于M,
则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线,其长为
∵ 
∴AM=A1M,故
(Ⅲ)连接DB,C1B,则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线.在ΔDCB中,
∵
∴CB⊥DB,
又C1C⊥平面CBD,
由三垂线定理得C1B⊥DB.
∴∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角).
∵侧面C1B1BC是正方形,
∴∠C1BC=45º.
故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45º. (14分)
