答案
思路分析：本题根据等差数列、等比数列的概念,利用等差数列、等比数列中的对称性质设出这四个数,以减少运算量.
解法一:设这四个数依次为a-d,a,a+d,
,
由条件得
解得
或
∴当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;
当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二:设这四个数依次为
-a,
,a,aq(a≠0),
由条件得
解得
或
∴当q=2,a=8时,所求四个数为0,4,8,16;
当q=
,a=3时,所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法三:设这四个数依次为x,y,12-y,16-x,
由已知得
解得
或
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
思维启示：(1)等比数列的“对称设项”方法为:当项数n为奇数时,先设中间一个数为a,再以公比为q向两边对称地依次设项即可,如三个数成等比数列,可设为
,a,aq;当项数n为偶数且公比大于0时,先设中间两个数为
和aq,再以公比为q2向两边对称地依次地设项即可,如四个数成等比数列可设为
,
,aq,aq3,六个数成等比数列可设为
,
,
,aq,aq3,aq5.
(2)对称设项法的好处在于它具有对称性,特别是当已知数列的积时,利用对称设项法可很快地求出a,从而进一步减少了未知数的个数.
