(1)求m与n的关系表达式;
(2)求f(x)的单调区间.
答案
思路分析:本题注重对导数的应用与数学思想的考查.(1)由f′(1)=0确定m与n的关系.(2)由f′(x)＞0,
f′(x)＜0确定f(x)的单调区间.
解:(1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n,
∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.
∴n=3m+6.
(2)由(1),知f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+
①当m＜0时,有1＞1+
x | (-∞,1+ |
1+
(1+
1
(1,+∞)
f′(x)
＜0
0
＞0
0
＜0
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
由上表知,当m＜0时,f(x)在(-∞,1+
,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当m＞0时,有1＜1+
x | (-∞,1) | 1 | (1,1+ |
1+
(1+
f′(x)
＞0
0
＜0
0
＞0
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由上表知,当m＞0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,1+
,+∞)单调递增.深化升华 解决本题关键在于准确地求出m与n的关系式,以及借助二次函数解决恒成立问题.
