(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.
答案
【探究】 (1)要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可，证明如下：
证明：
取PD的中点E，连结AE、EN.
则EN
CD
AB
AM，
故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE
平面PAD，MN
平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB.
由问(1)知，需证AE⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AE，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)由问(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PDA=45°,E为PD的中点.
∴AE⊥PD,即MN⊥PD.
又MN⊥CD.∴MN⊥平面PCD.
【规律总结】 本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直←线面垂直←线线垂直是转化规律.
