30°,AE垂直BD于E,F为A1B1的中点.
(1)求异面直线AE与BF所成的角;
(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小;
(3)求点A到平面BDF的距离.
答案
解：在长方体ABCD—A1B1C1D1中,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(如下图).
由已知AB=2,AA1=1,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1).
又AD⊥平面AA1B1B,从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°.
又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=
,
从而易得E(
,
,0),D(0,
,0).
(1)因为
=(
,
,0),
=(-1,0,1),
所以cos〈
,
〉=
=
=
,
即异面直线AE、BF所成的角为arccos
.
(2)易知平面AA1B的一个法向量为m
=(0,1,0).设n
=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量，又
=(-2,
,0).
由
取n
=(1,
,1),所以cos〈m
,n〉=
,即平面BDF与平面AA1B所成的二面角（锐角）大小为arccos
.
(3)点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值.
又因为
=(2,0,0),
所以距离d=
.
所以点A到平面BDF的距离为
.
