(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)AM=MA1是截面MBC1⊥侧面BB1C1C的充要条件吗?请你叙述判断理由.
答案
解析：(1)证明：∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,交线为BC,
∴由面面垂直的性质定理可知AD⊥侧面BB1C1C.
又∵CC1
侧面BB1C1C,∴AD⊥CC1.
(2)证法一：延长B1A1与BM交于N(在侧面AA1B1B中),连结C1N.
∵AM=MA1,∴NA1=A1B1.
又∵A1B1=A1C1,由棱柱定义知△ABC≌△A1B1C1,
∴AB=A1B1,AC=A1C1.
∴A1C1=A1N=A1B1.
∴在△B1C1N中,由平面几何定理知∠NC1B1=90°,
即C1N⊥B1C1.
又∵侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1,交线为B1C1,
∴NC1⊥侧面BB1C1C.
又∵NC1
面BNC1,∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C.
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证法二：取BC1中点E,连结DE、ME.在△BCC1中,D、E分别是BC、BC1中点,∴DE 
CC1.
又AA1
CC1,∴DE
AA1.
∵M是AA1的中点(由AM=MA1知),∴DE 
AM.
∴AMED是平行四边形.
∴AD
ME.
由(1)知AD⊥面BB1C1C,∴ME⊥侧面BB1C1C.
又∵ME
面BMC1,
∴面BMC1⊥侧面BB1C1C.
(3)结论是肯定的,充分性已由(2)证明.下面仅证明必要性(即由截面BMC1⊥侧面BB1C1C,推出AM=MA1,实质证明M是AA1中点).
过M作ME1⊥BC1于E1.
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C,交线为BC1,
∴ME1⊥面BB1C1C.
又由(1)知AD⊥侧面BB1C1C.
∵同垂直于一个平面的两条直线平行,
∴AD∥MB1.
∴M、E1、D、A四点共面.
又∵AM∥侧面BB1C1C,面AME1D∩面BB1C1C=DE1,∴由线面平行的性质定理可知AM∥DE1.
又AD∥ME1,∴四边形AME1D是平行四边形.
∴AD=ME1,DE1 
AM.
又∵AM∥CC1,∴DE1∥CC1.
又∵D是BC中点,∴E1是BC1中点.
∴DE1=12CC1=12AA1.
∴AM=12AA1.
∴MA=MA1.
