AB=1,M是PB的中点.(1)证明面PAD⊥面PCD;
(2)求AC与PB所成的角;
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.
答案
方法一：(1)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
由三垂线定理,得CD⊥PD.
因而CD与面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直.∴CD⊥平面PAD.
又CD
面PCD,
∴面PAD⊥面PCD.
(2)解:过点B作BE∥CA,且BE=CA,
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE,可知AC=CB=BE=AE=2.
又AB=2,∴四边形ACBE是正方形.
由PA⊥面ABCD,得∠PEB=90°.
在Rt△PEB中,BE=
,PB=
,
∴cos∠PBE=
.
∴AC与PB所成的角为arccos
.
(3)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.
在Rt△PAB中,AM=MB.
又AC=CB,∴△AMC≌△BMC.
∴BN⊥CM.故∠ANB为所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC.
在Rt△PCB中,CM=MB,
∴CM=AM.
在等腰△AMC中,
AN·MC=
·AC,
∴AN=
=
.
∴cos∠ANB=
=-
.
故所求的二面角为arccos(-
).
方法二：∵PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为长度单位,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M(0,1,
).
(1)证明:∵
=(0,0,1),
=(0,1,0),∴
·
=0.
∴AP⊥DC.
由题设知AD⊥DC,
∴DC⊥面PAD.
又∵DC
平面PCD,故面PAD⊥面PCD.
(2)解:∵
=(1,1,0),
=(0,2,-1),
∴cos〈
,
〉=
=
.
故AC与PB所成的角为arccos
.
(3)解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,使
=λ
,
=(1-x,1-y,-z),
=(1,0,-
),∴x=1-λ,y=1,z=
λ.
要使AN⊥MC,只需
·
=0,
即x-
z=0,∴λ=
.
当λ=
时,N(
,1,
)能使
·
=0.
此时,
=(
,-1,
),
·
=0.
∴AN⊥MC,BN⊥MC.
∠ANB为所求二面角的平面角.
∴cos〈
, 
〉= 
=-
.
故所求的二面角为arccos(-
).
