(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)当α为何值时，AB1⊥BC1，且使D点恰为BC的中点?并说明理由；
(3)当AB1⊥BC1，且D为BC中点时，若BC=2，四棱锥A-BB1C1C的体积为
，求二面角A-B1C1-C的大小．
第19题图
答案
答案：
(1)∵B1D⊥平面ACB，∴B1D⊥AC，∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)因为AC⊥平面BB1C1C，所以要使AB1⊥BC1，只要BC1⊥B1C，又BB1C1C是平行四边形，只要BB1C1C是菱形，另外要使D为BC中点，因B1D⊥BC，所以只要三角形B1BC为等边三角形即可，即当α=60°时满足题目要求．
(3)取B1C1的中点M，连接AM、MC，如图所示．因为△C1B1C是等边三角形，所以CM⊥B1C1，
第19题图
由题意知∠AMC是二面角A-B1C1-C的平面角，因为四棱锥A-BB1C1C的体积为，
所以，
·AC·BC·B1D=
，即
×AC×2×
=
AC=1，
∴tan∠AMC=
∠AMC=30°
即二面角A-B1C1-C的大小为30°．
