(Ⅰ)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；
(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的余弦值.
答案
解法一：
(Ⅰ)连结BE，则四边形DABE为正方形，
∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1，
∴四边形A1D1EB为平行四边形.
∴D1E∥A1B.
又D1E
平面A1BD，A1B
平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD.
(Ⅱ)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，2，2)，A1(1，0，2)，
∴
=(1，0，2) 
=(1，1，0).
设n=(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量
由n⊥
，n⊥
得
取z=1，则n=(-2，2，1)
又
=(0，2，2)，
=(1，1，0)，
设m=(x1，y1，z1)为平面C1BD的一个法向量，
由m⊥
，m⊥
得
取z1=1，则m=(1，-1，1).
设m与n的夹角为α,二面角A1-BD-C1为θ，显然θ为锐角.
∴cosα=
.
∴cosθ=
.
即所求二面角A1-BD-C1的余弦为
.
解法二：
(Ⅰ)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DA=a，由题意知：
D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，2a，0)，C1(0，2a，2a)，A1(a，0，2a)，D1(0，0，2a)，E(0，a，0)，
∴
=(0，a，-2a)，
=(a，0，2a)，
=(a，a，0)
又(0，a，-2a)=(a，a，0)-(a，0，2a)，
∴
，
∵DA1，DB
平面A1BD，D1E
平面A1BD.
∴D1E∥平面A1BD.
(Ⅱ)取DB的中点F，DC1的中点M，连结A1F，FM，
由(Ⅰ)及题意得知：
F(
，
，0)，M(0，a，a)，
∴
.
=(
，
，2a)·(a，a，0)=0，
=(
，
，a)·(a，a，0)=0.
∴FA1⊥DB，FM⊥DB.
∴∠A1FM为所求二面角的平面角.
∴cos∠A1FM=
=
=
.
所以二面角A1-BD-C1的余弦值为
.
解法三：
(Ⅰ)证明：如解法一图，连结AD1，AE，
设AD1∩A1D=G，AE∩BD=F，连结GF，
由题意知G是A1D的中点，又E是CD的中点，
∴四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点，
∴在△AED1中，GF∥D1E.
又GF
平面A1BD，D1E
平面A1BD.
∴D1E∥平面A1BD.
(Ⅱ)如图，在四边形ABCD中，设AD=α
∵AB=AD，AD⊥DC，AB∥DC
∴AD⊥AB.
故BD=
a，由(Ⅰ)得
BC2=BE2+EC2=a2+a2=2a2，DC=2a，
∴∠DBC=90°，即BD⊥BC.
又BD⊥BB1，
∴BD⊥平面BCC1B1，又BC1
平面BCC1B1，
∴BD⊥BC1
取DC1的中点M，连结A1F，FM，
由题意知：∴FM∥BC1，
∴FM⊥BD.
又A1D=A1B，∴A1F⊥BD.
∴∠A1FM为二面角A1-BD-C1的平面角.
连结A1M，在△A1FM中.
由题意知：
A1F=
a，FM=
BC1=
a，
取D1C1的中点H，连结A1H，HM，
在Rt△A1HM中.
∵A1H=
a，HM=a，
∴A1M=
.
∴cos∠A1FM=
=
=
.
∴二面角A1-BD-C1的余弦值为
.
