一个三棱锥
的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
（3）求二面角
的余弦值．
答案
解： （1）由正视图、俯视图知
；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则
，
平面
，
；
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则
，
平面
，
．如图．
（1）三棱锥
的体积
．
解法一：
以O为原点，OA为
轴，过O且平行于BD的直线为
轴，OS为
轴，建立如图空间直角坐标系，可求
，
，
设
是平面SAB的一个法向量，则
，取
，
（2）可知
，设点C到平面SAB的距离为
，
则
．
（3）可知
是平面ABC一个法向量，故
，
二面角
的余弦值为
．
解法二：
（2）可求
，
，
，
△SAB的面积
，
设点C到平面SAB的距离为，
由三棱锥的体积
，
得
．
（3）作
于H，作
交AB于E，则
，
连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故
，
为二面角的平面角．
△ABC中，易求
，
由△ABC的面积，
，
，
△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故
，
中，
，
故
，二面角的余弦值为．
