已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
(1)解 ∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=1.
又f(-1)=-f(1),得a=1.经检验a=1,b=1符合题意.
(2)证明 由(1)得f(x)=.
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
∵x1<x2,∴2x2-2x1>0,
又(2x1+1)(2x2+1)>0,f(x1)>f(x2),
∴f(x)为R上的减函数.
(3)解 ∵t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
∴f(t2-2t)<-f(2t2-k)
∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)<f(k-2t2),
∵f(x)为减函数,∴t2-2t>k-2t2.
即k<3t2-2t恒成立,
而3t2-2t=3(t-)2-≥-.
∴k<-,即实数k的取值范围是.
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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