如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．

（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；

（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，

又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，

∴BC∥面EFA，

又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，

∴BC∥l，

又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，

面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，

∴l⊥面PAC．

（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，

过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），

E（），F（），

，，

设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，

则，

取z=，得，，

|cos＜＞|==，

|cos＜＞|==，

依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，

∴y=±1．

∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．