如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=
，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
答案
（Ⅰ）详见解析：（Ⅱ）
；（Ⅲ）
【解析】
试题解析：解：（I）设
交点为
，连接
.
因为
平面
，平面
平面
，所以
.
因为
是正方形，所以为
的中点，所以
为
的中点.
（II）取
的中点
，连接
，
.
因为
，所以
.
又因为平面
平面，且
平面
，所以
平面.
因为
平面，所以
.
因为是正方形，所以
.
如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
，即
.
令
，则
，
.于是
.
平面的法向量为
，所以
.
由题知二面角
为锐角，所以它的大小为
.
（III）由题意知
，
，
.
设直线
与平面所成角为
，则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.
【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.
