已知曲线C的方程为ax²+ay²-2a²x-4y=0(a≠0,a为常数).

(1)判断曲线C的形状;

(2)设曲线C分别与x轴,y轴交于点A,B(A,B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断;

(3)设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M,N,且|OM|=|ON|,求曲线C的方程.

答案

解:(1)将曲线C的方程化为x²+y²-2ax-y=0⇒(x-a)²+(y-)²=a²+,

可知曲线C是以点(a,)为圆心,以为半径的圆.

(2)△AOB的面积S为定值.

证明如下:在曲线C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0),

在曲线C方程中令x=0,

得y(ay-4)=0,

得点B(0,),

所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值).

(3)因为圆C过坐标原点,

且|OM|=|ON|,

所以OC⊥MN,

所以=,

所以a=±2.

当a=-2时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为.

圆心到直线l:y=-2x+4的距离

d==>,

直线l与圆C相离,不合题意舍去,

a=2时符合题意.

这时曲线C的方程为x²+y²-4x-2y=0.