已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求
·
的最小值.
答案
解:(1)由题可知F(,0),
则该直线方程为y=x-.
代入y2=2px(p>0),得x2-3px+=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则有x1+x2=3p.
因为|MN|=8,
所以x1+x2+p=8,
即3p+p=8,
解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x,
得x2+(2b-4)x+b2=0.
因为l为抛物线C的切线,
所以Δ=0.
解得b=1.
所以l的方程为y=x+1.
设P(m,m+1),
则=(x1-m,y1-(m+1)),
=(x2-m,y2-(m+1)),
所以·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]
=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2.
由(1)可知x1+x2=6,x1x2=1,
所以(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4.
因为
-
=4(x1-x2),
所以y1+y2=4
=4,
所以·=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2
=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,
当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,·的最小值为-14.
B
C
D
