已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F(
,0),点M(-,)在椭圆
C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,过原点O作直线l的垂线,垂足为P,如果△OAB的面积为
(λ为实数),求λ的值.
答案
解:(1)由题意知c=.
根据椭圆的定义得2a=
+,
即a=2.
所以b2=4-3=1.
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由题意知△ABO的面积S△ABO=|AB|·|OP|=,
整理得λ=|OP|2-
.
①当直线l的斜率不存在时,l的方程是x=.
此时|AB|=1,|OP|=,
所以λ=|OP|2-=-1.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程是y=k(x-),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
可得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0,
显然Δ>0,
则
因为y1=k(x1-),y2=k(x2-),
所以|AB|=
=
=
=
.
所以|OP|2=(
)2=
,
此时,λ=-
=-1.
综上所述,λ的值为-1.
