已知点P(2,0)及圆C：x²＋y²－6x＋4y＋4＝0.

(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．

(2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

答案

 解：(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.

又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，由＝1，解得k＝－.

所以直线方程为y＝－(x－2)，即3x＋4y－6＝0.

当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件．

(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a²＋1)x²＋6(a－1)x＋9＝0.

由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，

故Δ＝36(a－1)²－36(a²＋1)>0，解得a<0.则实数a的取值范围是(－∞，0)．

设符合条件的实数a存在．

由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l₂上．所以l₂的斜率k_PC＝－2.

而k_AB＝a＝－，所以a＝.

由于(－∞，0)，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l₂垂直平分弦AB.