已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)若直线l过点P且与圆心C的距离为

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  • 难度: 使用次数:9 入库时间:2017-10-13

    已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.

    (1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程.

    (2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

    答案


     解:(1)设直线l的斜率为k(k存在),则方程为y-0=k(x-2),即kx-y-2k=0.

    又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3,由=1,解得k=-.

    所以直线方程为y=-(x-2),即3x+4y-6=0.

    当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.

    (2)把直线y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.

    由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,

    故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).

    设符合条件的实数a存在.

    由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l2上.所以l2的斜率kPC=-2.

    而kAB=a=-,所以a=.

    由于(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.


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