已知函数,
,其中a>1.
(I)求函数的单调区间;
(II)若曲线在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行,证明
;
(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线.
(I)解:由已知,,有
.
令,解得x=0.
由a>1,可知当x变化时,,
的变化情况如下表:
x | | 0 | |
| | 0 | + |
| | 极小值 | |
所以函数的单调递减区间
,单调递增区间为
.
(II)证明:由,可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
由,可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
因为这两条切线平行,故有,即
.
两边取以a为底的对数,得,所以
.
(III)证明:曲线在点
处的切线l1:
.
曲线在点
处的切线l2:
.
要证明当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线,只需证明当
时,存在
,
,使得l1和l2重合.
即只需证明当时,方程组
有解,
由①得,代入②,得
. ③
因此,只需证明当时,关于x1的方程③有实数解.
设函数,即要证明当
时,函数
存在零点.
,可知
时,
;
时,
单调递减,又
,
,故存在唯一的x0,且x0>0,使得
,即
.
由此可得在
上单调递增,在
上单调递减.
在
处取得极大值
.
因为,故
,
所以.
下面证明存在实数t,使得.
由(I)可得,
当时,
有,
所以存在实数t,使得
因此,当时,存在
,使得
.
所以,当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线.
平均变化率:
一般地,对于函数y =f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用
表示,即平均变化率
上式中的值可正可负,但
不为0.f(x)为常数函数时,
瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当
时平均速度的极限,即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)为当d趋于0时的极限.
函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义:
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作
或
,即
。
导函数:
如果函数y =f(x)在开区间(a,6)内的每一点都可导,则称在(a,b)内的值x为自变量,以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a,b)内的导函数,简称为f(x)在(a,b)内的导数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=
切线及导数的几何意义:
(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=。
瞬时速度特别提醒:
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度,再对平均速度取极限,
函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:
①当时,比值
的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若
的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
②自变量的增量可以为正,也可以为负,还可以时正时负,但
.而函数的增量
可正可负,也可以为0.
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
导函数的特点:
①导数的定义可变形为:
②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数,
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数,
④并不是所有函数都有导函数.
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数
在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.
⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).
导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒:
①利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函数在x= x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x= x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y =f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,
④显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<o,切线与x轴正向的夹角为钝角;f(x0) =0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.
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