已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处

（I）解：由已知，，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.

（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.

由，可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行，故有，即.

两边取以a为底的对数，得，所以.

（III）证明：曲线在点处的切线l₁：.

曲线在点处的切线l₂：.

要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l₁和l₂重合.

即只需证明当时，方程组有解，

由①得，代入②，得.   ③

因此，只需证明当时，关于x₁的方程③有实数解.

设函数，即要证明当时，函数存在零点.

，可知时，；时，单调递减，又

，，故存在唯一的x₀，且x₀>0，使得，即

.

由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.

因为，故，

所以.

下面证明存在实数t，使得.

由（I）可得，

当时，

有，

所以存在实数t，使得

因此，当时，存在，使得.

所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.