已知函数,,其中a>1. (I)求函数的单调区间; (II)若曲线在点处

高中数学 COOCO.因你而专业 !
套卷教案课件下载new 试题搜索答案
你好!请登陆注册
  • 难度: 使用次数:14 入库时间:2018-06-10

    已知函数,其中a>1.

    I)求函数的单调区间;

    II)若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行,证明

    III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.

    答案


    I)解:由已知,,有.

    ,解得x=0.

    a>1,可知当x变化时,的变化情况如下表:

    x

    0

    0

    +

    极小值

    所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.

    II)证明:由,可得曲线在点处的切线斜率为.

    ,可得曲线在点处的切线斜率为.

    因为这两条切线平行,故有,即.

    两边取以a为底的对数,得,所以.

    III)证明:曲线在点处的切线l1.

    曲线在点处的切线l2.

    要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,使得l1l2重合.

    即只需证明当时,方程组有解,

    由①得,代入②,得.  

    因此,只需证明当时,关于x1的方程③有实数解.

    设函数,即要证明当时,函数存在零点.

    ,可知时,时,单调递减,又

    ,故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即

    .

    由此可得上单调递增,在上单调递减. 处取得极大值.

    因为,故

    所以.

    下面证明存在实数t,使得.

    由(I)可得

    时,

    所以存在实数t,使得

    因此,当时,存在,使得.

    所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.


如果没有找到你要的试题答案和解析,请尝试下下面的试题搜索功能。百万题库任你搜索。搜索成功率80%