已知函数f(x)＝  lnx－x＋  ，其中a>0.
（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；
（2）设a∈(1，e]，当x₁∈(0,1)，x₂∈(1，＋∞)时，记f(x₂)－f(x₁)的最大值为M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）解： f′(x)＝   －1－  ＝  ，x∈(0，＋∞)．
①当a＝1时，f′(x)＝－  ≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不存在极值点；
②当a>0且a≠1时，f′(a)＝f′  ＝0.经检验a，  均为f(x)的极值点．
∴a∈(0,1)∪(1，＋∞)．
（2）解：当a∈(1， e]时，0<  <1<a.由(1)知，当f′(x)>0时，  <x<a；当f′(x)<0时，x>a或x<  .
∴f(x)在  上单调递减，在  上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
∴对∀x₁∈(0,1)，有f(x₁)≥f  ；对∀x₂∈(1，＋∞)，有f(x₂)≤f(a)．∴[f(x₂)－f(x₁)]_max＝f(a)－f  .
∴M(a)＝f(a)－f  ＝  － ＝2  ，a∈(1，e]．
M′(a)＝2  lna＋2   ＋2  ＝2  lna，a∈(1，e]．∴M′(a)>0，即M(a)在(1，e]上单调递增．
∴M(a)_max＝M(e)＝2  ＋2  ＝  .∴M(a)存在最大值  .