已知函数f(x)= lnx-x+
,其中a>0.
(1)若f(x)在(0,+∞)上存在极值点,求a的取值范围;
(2)设a∈(1,e],当x1∈(0,1),x2∈(1,+∞)时,记f(x2)-f(x1)的最大值为M(a).那么M(a)是否存在最大值?若存在,求出其最大值;若不存在,请说明理由.
(1)解: f′(x)=
-1-
=
,x∈(0,+∞).
①当a=1时,f′(x)=- ≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,不存在极值点;
②当a>0且a≠1时,f′(a)=f′ =0.经检验a,
均为f(x)的极值点.
∴a∈(0,1)∪(1,+∞).
(2)解:当a∈(1, e]时,0< <1<a.由(1)知,当f′(x)>0时,
<x<a;当f′(x)<0时,x>a或x<
.
∴f(x)在 上单调递减,在
上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
∴对∀x1∈(0,1),有f(x1)≥f ;对∀x2∈(1,+∞),有f(x2)≤f(a).∴[f(x2)-f(x1)]max=f(a)-f
.
∴M(a)=f(a)-f =
-
=2
,a∈(1,e].
M′(a)=2 lna+2
+2
=2
lna,a∈(1,e].∴M′(a)>0,即M(a)在(1,e]上单调递增.
∴M(a)max=M(e)=2 +2
=
.∴M(a)存在最大值
.