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入库时间：2018-07-27
已知椭圆
.（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若
为圆O：
的弦AB的中点，则直线AB的斜率
与直线OE的斜率
的乘积
为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆
的类似性质，并加以证明；（Ⅱ）如图（1），点B为
在第一象限中的任意一点，过B作
的切线
，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；（Ⅲ）如图（2），过椭圆
上任意一点
作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆
上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
图（1） 图（2）
答案
解：（Ⅰ）若A，B为椭圆
上相异的两点，
为A，B中点，当直线AB
的斜率与直线OP的斜率
的乘积
必为定值;----- -------------1分证1：设
，则
（2）-（1）得：
，-----------2分
仅考虑斜率存在的情况
：
----------------------------------------4分证2：设AB：
与椭圆联立得：
， --------------2分所以
----------4分（Ⅱ）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率
，即
，
所以点B处的切线QB：
----------------6分令
，
，令
，所以
-----------------8分又点B在椭圆的第一象限上，所以
，当且仅当
所以当
时，三角形OCD的面积的最小值为
-------10分（没写等号成立扣1分）（ⅱ）设
，由（ⅰ）知点
处的切线为：
又
过点，所以
，又可理解为点在直线
上
同理点
在直线上，所以直线MN的方程为：
--------------------------12分所以原点O到直线MN的距离
，----------13分所以直线MN始终与圆
相切. ------------------------14分