已知椭圆.

（Ⅰ）我们知道圆具有性质：若为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；

（Ⅱ）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；

（Ⅲ）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1）                                     图（2）

答案

解：（Ⅰ）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB

            的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;----- -------------1分

     证1：设，则

          （2）-（1）得：，-----------2分

           仅考虑斜率存在的情况：----------------------------------------4分

     证2：设AB：与椭圆联立得：

         ， --------------2分

         所以----------4分

   （Ⅱ）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率，

              即，

所以点B处的切线QB：----------------6分

令，，令，所以-----------------8分

又点B在椭圆的第一象限上，所以

，当且仅当

所以当时，三角形OCD的面积的最小值为-------10分（没写等号成立扣1分）

（ⅱ）设，由（ⅰ）知点处的切线为：

又过点，所以，又可理解为点在直线上

同理点在直线上，所以直线MN的方程为：　--------------------------12分

所以原点O到直线MN的距离，----------13分

所以直线MN始终与圆相切. 　------------------------14分