已知椭圆. (Ⅰ)我们知道圆具有性质:若为圆O:的弦AB的中点,则直线AB

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  • 难度: 使用次数:6 入库时间:2018-07-27

    已知椭圆.

    )我们知道圆具有性质:若为圆O的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质,写出椭圆的类似性质,并加以证明;

    )如图(1),点B在第一象限中的任意一点,过B的切线分别与x轴和y轴的正半轴交于CD两点,求三角形OCD面积的最小值;

    )如图(2),过椭圆上任意一点的两条切线PMPN,切点分别为MN.当点P在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

     


                                           

    图(1                                     图(2

    答案


    解:()若AB为椭圆上相异的两点,AB中点,当直线AB

                的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;----- -------------1

         1:设,则

              2-1)得:-----------2

               仅考虑斜率存在的情况----------------------------------------4

         2:设AB与椭圆联立得:

             --------------2

             所以----------4

       )()当点A无限趋近于点B时,割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率

                 

    所以点B处的切线QB----------------6

    ,令,所以-----------------8

    又点B在椭圆的第一象限上,所以

    ,当且仅当

    所以当时,三角形OCD的面积的最小值为-------10分(没写等号成立扣1分)

    )设,由()知点处的切线为:

    过点,所以,又可理解为点在直线

    同理点在直线上,所以直线MN的方程为: --------------------------12

    所以原点O到直线MN的距离----------13

    所以直线MN始终与圆相切.  ------------------------14


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