如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,B1D∩平面A1BC1=H.
有下列结论.
①B1D⊥平面A1BC1;
②平面A1BC1将正方体体积分成1∶5两部分;
③H是B1D的中点;
④平面A1BC1与正方体的六个面所成的二面角的余弦值都为.则正确结论的个数有( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C.对于①,连接B1C与A1D,由正方体性质知,BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,
又A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面A1B1CD.
所以BC1⊥平面A1B1CD.
又B1D⊂平面A1B1CD.
所以B1D⊥BC1.
同理B1D⊥A1B,A1B∩BC1=B.
所以B1D⊥平面A1BC1,故①正确.
对于②.设正方体棱长为a.
则V三棱锥BA1B1C1=·a·a·a=a3.
所以平面A1BC1将正方体分成两部分的体积之比为a3∶(a3-a3)=1∶5.故②正确.
对于③,设正方体棱长为a,
则A1B=a.由VB1A1BC1=a3,
得××(a)2·B1H=a3,
所以B1H=a,而B1D=a.
所以B1H∶HD=1∶2,即③错误.
对于④,由对称性知,平面A1BC1与正方体六个面所成的二面角的大小都相等.
由①知B1H⊥平面A1BC1,而A1B1⊥平面B1BCC1.
所以∠A1B1H的大小即为所成二面角的大小.
cos∠A1B1H===.故④正确.故选C.
平面的概念:
平面是无限伸展的;
平面的表示:
通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
平面的画法:
①通常把水平的平面画成锐角为45。,横边长等于其邻边长2倍的平行四边形,如图1所示.②如果一个平面被另一个平面挡住,则被遮挡的部分用虚线画出来,如图2所示,
平面的性质:
(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。
用符号语言表示公理1:。
应用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:它是空间内确定平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号语言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。
公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法;
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点;
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
立体几何问题的重要方法:
根据平面的基本性质,把空间图形转化为平面图形来解决,这是立体几何中解决问题的重要思想方法.通常要解决以下四类问题:
(l)证明空间三点共线问题:证明这类问题一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上,即先确定出某两个点在某两个平面上,再证明第三个点既在第一个平面内,又在第二个平面内,当然必在两平面的交线上.
(2)证明空间三线共点问题:证明这类问题一般根据公理l和公理3,把其中一条直线作为分别通过其余丽条直线的两个平面的交线,然后证明两条直线的交点在此直线上.
(3)证明空间点共面问题:可根据公理2,先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证其他各点都在这个平面内.
(4)证明空间直线共面问题一般根据公理2及推论,先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证其余直线在这个平面内,或者由这些直线中取适当的两条确定若干个平面,再一一确定这些平面重合.
基本性质2及其三个推论可以用来证明点、线共面,证明此类问题,常用的方法有:
①纳入法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内.
②同一法:先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内,另一些点和直线在另外一个确定的平面内,……,最后证明这些平面重合.
③反证法:可以假设这些点和直线不在同一个平面内,然后通过推理,找出矛盾,从而否定假设,肯定结论.
点线面位置关系的符号语言如下表:
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