设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.是否存在a1,d,使得a1,
依次构成等比数列?并说明理由.
答案
解:令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).
假设存在a1,d,使得a1,
依次构成等比数列,
则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.
令t=
,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4
,
化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.
将t2=t+1代入(*)式,
得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-
.
显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列
;
.
”