已知
是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项
，在中都存在一项
，使
；
②对于中任意项
，在中都存在两项
．使得
．
(Ⅰ)若
，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若
，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
答案
(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；
(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；
(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明
，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.
解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得
成等比数列，之后证得
成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.
【详解】(Ⅰ)
不具有性质①；
(Ⅱ)
具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然
，假设数列中存在负项，设
，
第一种情况：若
，即
，
由①可知：存在
，满足
，存在
，满足
，
由可知
，从而
，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若
，由①知存在实数
，满足
，由
的定义可知：
，
另一方面，
，由数列
单调性可知：
，
这与的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明：
利用性质②：取
，此时
，
由数列的单调性可知
，
而
，故
，
此时必有
，即，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列的前
项成等比数列，不妨设
，
其中
，（
情况类似）
由①可得：存在整数，满足
，且
（*）
由②得：存在
，满足：
，由数列的单调性可知：
，
由可得：
（**）
由（**）和（*）式可得：
，
结合数列的单调性有：
，
注意到
均为整数，故
，
代入（**）式，从而
.
总上可得，数列的通项公式为：
.
即数列为等比数列.
【解法二】假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，即，
即成等比数列，不妨设
，
然后利用性质①：取
，则
，
即数列中必然存在一项的值为
，下面我们来证明
，
否则，由数列的单调性可知
，
在性质②中，取
，则
，从而
，
与前面类似的可知则存在
，满足
，
若
，则：
，与假设矛盾；
若
，则：
，与假设矛盾；
若，则：
，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数
，可见不成立，从而，
同理可得：
，从而数列为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列为等比数列.
【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.
