已知圆C经过A(﹣2，0)，B(1，)两点，且圆心C在直线l₁：y＝x上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知过点P(1，2)的直线l₂与圆C相交截得的弦长为，求直线l₂的方程；

（3）已知点M(1，1)，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动

点Q，都有为定值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由．

答案

解：（1）因为圆C经过A（﹣2，0），B（1，）两点，且圆心C在直线l1：y＝x上，

设圆C：x²+y²+Dx+Ey+F＝0，

所以（﹣2）²﹣2D+F＝0，1²+（）²+D+E+F＝0，﹣＝﹣，

所以D＝E＝0，F＝﹣4．

所以圆C：x²+y²＝4．

（2）当斜率不存在的时候，x＝1，弦长为2，满足题意；

当斜率存在的时候，设l2：y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，

＝1，k＝，

所以直线l2的方程为：x＝1或3x﹣4y+5＝0．

（3）设Q（x₀，y₀），N（m，n），且x₀²+y₀²＝4．

＝＝，

因为为定值，设＝λ，

化简得：（2λ﹣2m）x₀+（2λ﹣2n）y₀+m2+n2+4﹣6λ＝0，与Q点位置无关，

所以，

解得m＝n＝1或m＝n＝2．

所以定点为（2，2）．