设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为
.如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).
(1)设函数
，其中b为实数.
①求证：函数f(x)具有性质P(a).②求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.设m为实数， 
，且
.若
，求实数m的取值范围
答案
（1）当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，
)，单调增区间为(，＋∞)．
（2）(0,1)
【解析】
解：(1)由f(x)＝ln x＋
，得f′(x)＝
.
①证明：因为x＞1时，h(x)＝
＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)．
②当b≤2时，由x＞1得x2－bx＋1≥x2－2x＋1＝(x－1)2＞0，
所以f′(x)＞0.从而函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
当b＞2时，令x2－bx＋1＝0得
x1＝
，x2＝.
因为x1＝＝
＜
＜1，
x2＝
＞1，
所以当x∈(1，x2)时，f′(x)＜0；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x＝x2时，f′(x)＝0.从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增．
综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)．
(2)由题设知，g(x)的导函数
g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，
其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立，
所以当x＞1时，g′(x)＝h(x)(x－1)2＞0，
从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
①当m∈(0,1)时，
有α＝mx1＋(1－m)x2＞mx1＋(1－m)x1＝x1，
α＜mx2＋(1－m)x2＝x2，即α∈(x1，x2)，
同理可得β∈(x1，x2)．
所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合题意．
②当m≤0时，α＝mx1＋(1－m)x2≥mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，
所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题意不符．
③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，
进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题意不符．
综上所述，所求的m的取值范围为(0,1)．
表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用
表示，即平均变化率
的值可正可负，但
不为0．f(x)为常数函数时，
这段时间内，当
时平均速度的极限，即
当d趋于0时的极限．
，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作
或
，即
。
。
时的极限值．
时，比值
的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若
可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但
．而函数的增量
可正可负，也可以为0．
与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数
