已知数列 { a _n ｝ 的各项均为正数，记 S _n 为 { a _n ｝的前 n 项和，从下面 ①②③中选取两个作为条件，证明另外 一 个成立 .

① 数列 { a _n ｝ 是等差数列： ②数列{ ｝ 是等差数列； ③a ₂ =3 a ₁

注 ：若选择不同的组合分别解答，则按第 一 个解答计分 .

答案

情况一：选择 ①③为条件，即数列 a _n 为等差数列，且

证明：设等差数列 a _n 的公差为 d，由题意可知， a ₁ ＞ 0，d＞0，且 a ₂ =3a ₁ = a ₁ +d

所以， d=2 a ₁ ，所以 a _n =a ₁ +(n-1)d=(2n-1)a ₁

所以 s _n = =(n*2na ₁ )/2=n ² a ₁

所以 =n ， =(n+1)

= ，为常数，所以数列 为等差数列。

情况二 ： 选择 ①②为条件。

证明：设等差数列 a _n 的公差为 d，则 d＞0

因为 为等差数列，所以 ，即

等式两边平方得： 4 (2a ₁ +d) =

即：

等式两边平方： =0

也就是： =0，即d=2a ₁ ，所以 a ₂ =a ₁ +d=3a ₁

情况三：选择 ②③为条件。

证明：因为 为等差数列，且 a _n ＞ 0，所以可设 =Kn+b（k＞0）

其中 k,b为常数，kn+b＞0对任意n属于 N* 成立

所以： s _n =(kn+b) ² ,a ₁ =s ₁ =(k+b) ²

N大于等于2时， a _n +s _n -s _n-1 =(2n-1)k ² =2kb

又因为 a2=3a1，所以3 k ² +2kb =3 (k+b) ² ，解得 b=0或者4k+3b=0

当 b= 0 时， a1= k ² ， n大于等于2时， a _n =(2n-1)k ² ， n=1时同

所以 ，所以数列 a _n 为等差数列。

当 4k+3b=0时，b=4/3k， =K+b=-1/3k＜0，舍去。

综合，数列 a _n 为等差数列