已知直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 .中 ,侧面 A A 1 B 1 B 为 正方形 , AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC 1 的中点, D为棱 A 1 B 1 上的点, BF丄A 1 B 1 .
(1) 证明 : BF ⊥ DE ;
⑵ 当为B 1 D何值时,面BB 1 C 1 C与 面 DFE所成的二面角的正弦值最小 ?
( 1)直棱柱ABC-A1B1C1,侧面AA1B1B为正方形
所以 A1B1=B1B=AB=BC=2
所以侧面 BB1C1C为正方形
取 BC中点M,连接B1M和EM
因为 F为CC1重点,所以B1M⊥BF
由已知 BF⊥A1B1
且 A1B1 B1M=B1
所以 BF⊥平面A1B1M
由于 E为AC中点,所以EM∥A1B1
所以 EM 平面 A1B1M,所以BF⊥DE
( 2)由(1)可知,A1B1⊥BF,且A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面B1BCC1
以 B为原点,BC,BY,BB1为xyz轴建立空间直角坐标系
设 C(2,0,0),A(0,-2,0),B1(0,0,2)
C1(2,0,2),A1(0,-2,2),E(1,-1,0),F(2,0,1),D(0,n,2)
则向量 EF=(1,1,1),向量FD=(-2,n,1)
设向量 m⊥平面BB1C1C,则向量m=(0,1,0)
向量 n⊥平面DEF,则向量n=(x,y,z)
由: 得:
得:
得: =(n-1,3,-n-2)
设平面 BB1C1C与平面DEF 所 称角为 Q
cosQ=|cos< ,
>|=
设
所以,当 n=-1/2时,cosQ最大为
此时 sinQ 最小为
所以,当 B1D=1/2时,sinQ最小为