已知直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 .中 ，侧面 A A 1 B 1 B 为 正方形 , AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC 1 的中点， D为棱 A 1 B 1 上的点， BF丄A 1 B 1 .
(1) 证明 ： BF ⊥ DE ；
⑵ 当为B 1 D何值时，面BB 1 C 1 C与 面 DFE所成的二面角的正弦值最小 ？
答案
（ 1）直棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形
所以 A1B1=B1B=AB=BC=2
所以侧面 BB1C1C为正方形
取 BC中点M，连接B1M和EM
因为 F为CC1重点，所以B1M⊥BF
由已知 BF⊥A1B1
且 A1B1 
B1M=B1
所以 BF⊥平面A1B1M
由于 E为AC中点，所以EM∥A1B1
所以 EM 
平面 A1B1M，所以BF⊥DE
（ 2）由（1）可知，A1B1⊥BF，且A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面B1BCC1
以 B为原点，BC，BY，BB1为xyz轴建立空间直角坐标系
设 C（2，0，0），A（0，-2，0），B1（0，0，2）
C1（2，0，2），A1（0，-2，2），E（1，-1，0），F（2，0，1），D（0，n，2）
则向量 EF=（1，1，1），向量FD=（-2，n，1）
设向量 m⊥平面BB1C1C，则向量m=（0，1，0）
向量 n⊥平面DEF，则向量n=（x，y，z）
由： 
得： 
得： 
得： =（n-1，3，-n-2）
设平面 BB1C1C与平面DEF 所 称角为 Q
cosQ=|cos< ,
>|=
设
所以，当 n=-1/2时，cosQ最大为
此时 sinQ 最小为
所以，当 B1D=1/2时，sinQ最小为 
