为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取 “ k 合 1 检测法 ” ，即将 k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2 人感染病毒．

（ 1 ） ① 若采用 “10 合 1 检测法 ” ，且两名患者在同一组，求总检测次数；

② 已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 ，定义随机变量 X 为总检测次数，求检测次数 X 的分布列和数学期望 E ( X ) ；

（ 2 ）若采用 “5 合 1 检测法 ” ，检测次数 Y 的期望为 E ( Y ) ，试比较 E ( X ) 和 E ( Y ) 的大小 ( 直接写出结果 ) ．

答案

（ 1 ） ① 次； ② 分布列见解析；期望为 ；（ 2 ）见解析．

【分析】

（ 1 ） ① 由题设条件还原情境，即可得解；

② 求出 X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（ 2 ）求出 ，分类即可得解 .

【详解】

（ 1 ） ① 对每组进行检测，需要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要 10 次；

所以总检测次数为 20 次；

② 由题意， 可以取 20 ， 30 ，

， ，

则 的分布列 :

所以 ；

（ 2 ）由题意， 可以取 25 ， 30 ，设两名感染者在同一组的概率为 p ，

， ，

则 ，

若 时， ；

若 时， ；

若 时， .