以某些整数为元素的集合 P 具有以下性质:
( 1 ) P 中元素有正数,也有负数;( 2 ) P 中元素有奇数,也有偶数;
( 3 ) ;( 4 )若 ,则 .
则下列选项哪个是正确的( )
A .集合 P 中一定有 0 但没有 2 B .集合 P 中一定有 0 可能有 2
C .集合 P 中可能有 0 可能有 2 D .集合 P 中既没有 0 又没有 2
A 【分析】由( 4 )得 ,则 ( k 是正整数),由( 1 )可设 ,且 , ,可得 . 利用反证法可得若 ,则 P 中没有负奇数,若 P 中负数为偶数,得出矛盾即可求解 .
【详解】解:由( 4 )得 ,则 ( k 是正整数).
由( 1 )可设 ,且 , ,则 、 ,而 .
假设 ,则 .由上面及( 4 )得 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , … 均在 P 中,
故 ( k 是正整数),
不妨令 P 中负数为奇数 ( k 为正整数),
由( 4 )得 ,矛盾.
故若 ,则 P 中没有负奇数.
若 P 中负数为偶数,设为 ( k 为正整数),则由( 4 )及 ,
得 均在 P 中,即 ( m 为非负整数),
则 P 中正奇数为 ,由( 4 )得 ,矛盾.
综上, , .
故选 :A .
集合的概念:
1、集合:一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合(简称集); 集合通常用大写的拉丁字母表示,如A、B、C、……。
元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素,元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、……
2、元素与集合的关系:
(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同,可把集合分为如下几类:
(1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф
(2)含有有限个元素的集合叫做有限集
(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法:
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合.记作N
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
(3)整数集:全体整数的集合.记作Z
(4)有理数集:全体有理数的集合.记作Q
(5)实数集:全体实数的集合.记作R
集合中元素的特性:
(1)确定性:给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合,要么不属于该集合,二者必具其一。
(2)互异性:集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性:集合中的元素没有固定的顺序.
易错点:
(1)自然数集包括数0.
(2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N+,Q、Z、R等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z
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