如图,在正方体 中,点 是线段 上的动点,则下列说法错误的是( )
A .当点 移动至 中点时,直线 与平面 所成角最大且为
B .无论点 在 上怎么移动,都有
C .当点 移动至 中点时,才有 与 相交于一点,记为点 ,且
D .无论点 在 上怎么移动,异面直线 与 所成角都不可能是
A
【分析】建立空间直角坐标系,借助空间向量研究直线与直线垂直、夹角问题的相关公式和结论,结合函数的性质可判断选项 A 、 B 、 D ;由三角形的相似关系可判断选项 C .
【详解】以 为坐标原点, , , 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,如图,
设正方体的棱长为 1 ,则
∵ 点 是线段 上的动点, ∴ 可设 , ,
∴ , , ,
设 是平面 的一个法向量,则 ,即 ,
令 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则
∴ 当 时, 取最大值 ,即当点 移动至 中点时 最大,
由于 ,则 的最大值大于 ,故 A 错误;
∵ , ,
∴ ,
∴ 无论点 在 上怎么移动,都有 ,故 B 正确;
若 不是 的中点,则 与 是异面直线;当 为 的中点时,也是 的中点, 与 均在平面 内且必相交,所以当点 移动至 中点时,才有 与 相交于一点,记为点 ,连 和 ,如图,
根据 , 可得 = = 2 ,故 C 正确;
∵ ,
设异面直线 与 所成角为 ,则
, ∴ ,故 D 正确.
故选: A .
点的平移公式:
;
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F′上的对应点为P′(x′,y′),且的坐标为(h,k)。
“按向量平移”的几个结论:
(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x+h,y+k);
(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的函数解析式为y=f(x-h)+k;
(3)图象C′按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=f(x),则C′的函数解析式为y=f(x+h)-k;
(4)曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的方程为f(x-h,y-k)=0;
(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y)。
登录并加入会员可无限制查看知识点解析