核酸检测也就是病毒 DNA 和 RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测 . 通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染 . 某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备 12 份试验用血液标本，其中 2 份阳性， 10 份阴性，从标本中随机取出 n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测 . 以此类推，直到确定所有样本的结果 . 若每次检测费用为 a 元，记检测的总费用为 X 元 .

(1) 当 n =3 时，求 X 的分布列和数学期望 .

(2) 比较 n =3 与 n =4 两种方案哪一个更好，说明理由 .

答案

(1) 分布列见解析，

(2) 效果好，理由见解析

【分析】 (1)2 分阳性在一组，检测 7 次，各一组，检测 10 次，写出 的所有可能值，求出对应的概率即可求解；

(2) 由 (1) 的思路求出检测总费用 的数学期望并比较大小即可得解 .

【详解】（ 1 ）当 时，共分 4 组，

当 2 份阳性在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 3 次，共检测 7 次，

若 2 分阳性各在一组，第一轮检测 4 次，第二轮检测 6 次，共检测 10 次，

所以检测的总费用 的所有可能值为 ，任意检测有 种等可能结果， 2 分阳性在一组有 种等可能结果，

， ，

所以检测的总费用 的分布列为：

的数学期望 ，

（ 2 ）当 时，共分 3 组，当 2 份阳性在一组，共检测 7 次，若 2 分阳性各在一组，共检测 11 次，检测的总费用 的所有可能值为 ，任意检测有 种等可能结果， 2 份阳性在一组有 种等可能结果，

所以 ， ，

所以检测的总费用 的分布列为：

的数学期望 ,

所以 时的方案更好一些 .