通过验血能筛查乙肝病毒携带者，统计专家提出一种 化验方法：随机地按 人一组进行分组，然后将每组 个人的血样混合化验 . 如果混合血样呈阴性，说明这 人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明这 人中至少有一人血样呈阳性，需要重新采集这 人血样并分别化验一次，从而确定乙肝病毒携带者 .

(1) 已知某单位有 1000 名职工，假设其中有 2 人是乙肝病毒携带者，如果将这 1000 人随机分成 100 组，每组 10 人，且每组都采用 化验方法进行化验 .

（ i ）若两名乙肝病毒携带者被分到同一组，求本次化验的总次数；

（ ii ）假设每位职工被分配到各组的机会均等，设 是化验的总次数，求 的分布列与数学期望 .

(2) 现采用 化验方法，通过验血大规模筛查乙肝病毒携带者 . 为方便管理、采样、化验，每组人数宜在 10 至 12 人之间 . 假设每位被筛查对象的乙肝病毒携带率均为 2% ，且相互独立，每组 人 . 设每人平均化验次数为 ，以 的数学期望 为依据，确定使化验次数最少的 的值 .

参考数据： ， ， ，数据保留两位小数 .

答案

(1) （ i ） 110 ；（ ii ）分布列见解析，

(2)10

【分析】（ 1 ）（ i ）根据 化验方法定义分析即可；（ ii ）由乙肝病毒携带者的 2 人分在同一组和分在不同组时得随机变量 可能的取值为 110 ， 120 ，求分布列和均值即可；

（ 2 ）由题意可得若混合血样呈阴性，则 ，若混合血样呈阳性，则 ，求概率和数学期望，求当 最小时， 的值即可 .

【详解】（ 1 ）（ i ）依题意，如果乙肝病毒携带者的 2 人在同一组，则该组需要检测 11 次，其他 99 个组都只需要检验 1 次，所以检测总次数为 110.

（ ii ）由（ i ）知，当乙肝病毒携带者的 2 人分在同一组时，检测的总次数是 110 ，当乙肝病毒携带者的 2 人分在不同组时，可以求得检测的总次数是 120 ，所以随机变量 的可能取值为 110 ， 120 ，

， ，

则 的分布列：

（ 2 ）由题意若混合血样呈阴性，则 ，若混合血样呈阳性，则 ，

， ，

所以 ，

令 ，

， ， .

所以，按 10 人一组，能够使得检测次数最少 .