甲、乙两地教育部门到某师范大学实施 “ 优才招聘计划 ” ，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这 3 项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知 3 项程序分别由 3 个考核组独立依次考核，当 3 项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系 130 名毕业生参加甲地教育部门 “ 优才招聘计划 ” 的具体情况如下表（不存在通过 3 项程序考核放弃签约的情况）．

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的 “ 优才招聘计划 ” ，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为 ，通过乙地的各项程序的概率依次为 ， ， m ，其中 0 ＜ m ＜ 1 ．

(1) 判断是否有 90% 的把握认为这 130 名毕业生去年参加甲地教育部门 “ 优才招聘计划 ” 能否签约与性别有关；

(2) 若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件 A ， B ，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为 X ， Y ．当 E （ X ）＞ E （ Y ）时，证明： P （ A ）＞ P （ B ）．

参考公式与临界值表： ， n ＝ a ＋ b ＋ c ＋ d ．

答案

(1) 没有 90% 的把握认为去年该校 130 名数学系毕业生参加甲地教育部门 “ 优才招聘计划 ” 能否签约与性别有关

(2) 证明见解析

【分析】 (1) 依据列联表中的数据代入 ，求出后参考临界值表 .

(2) 分别列出小明参加甲乙程序的分布列，算出 E （ X ） 与 E （ Y ） ，通过 E （ X ）＞ E （ Y ） 即可证明： P （ A ）＞ P （ B ）．

【详解】（ 1 ）因为

，且 ，

所以没有 90% 的把握认为去年该校 130 名数学系毕业生参加甲地教育部门 “ 优才招聘计划 ” 能否签约与性别有关．

（ 2 ）因为小明参加各程序的结果相互不影响，

所以 ，则 ． Y 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ．

，

，

，

．

随机变量 Y 的分布列：

．

因为 E （ X ）＞ E （ Y ），所以 ，即 ，

所以 ，

所以 P （ A ）＞ P （ B ）．