在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得 分，选择错误得 分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得 分，部分选对得 分，有选择错误的得 分．

(1) 小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．己知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是 ．问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．

(2) 小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为 ，选择两个选项的概率为 ，选择三个选项的概率为 ．己知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为 ，求 的分布列及数学期望．

答案

(1)

(2) 分布列见解析，数学期望

【分析】（ 1 ）根据全概率公式可求得该单项选择题回答正确的概率，由条件概率公式可求得结果；

（ 2 ）首先确定 所有可能的取值，并根据独立事件概率乘法公式求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值 .

【详解】（ 1 ）记事件 为 “ 该单项选择题回答正确 ” ，事件 为 “ 小明直到该题的正确答案 ” ，

，

，

即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，他知道这道单项选择题正确答案的概率为 .

（ 2 ）由题意知： 所有可能的取值为 ，

设事件 表示小明选择了 个选项，事件 表示选择的选项是正确的，

；

； ；

的分布列为：

则数学期望 .