C

【分析】分别写出 与 时相应的代数式，对比观察求解 .

【详解】当 时，则

当 时，则

∴ 从 k 到 添加的项数共有 5 项

故选： C.

A

【分析】 先求出 ，由此容易判断 ①② ，对于 ③ ，当 为偶数时， ，当 为奇数时， ， 若存在 ，使得 ， 则 ，且 ，由此可分 为奇数和偶数讨论即可判断

【详解】因为 ，

所以 ，则 ，

所以数列 、 为等差数列，且公差为 2 ，

由 ， 得 ，

所以 ，

① 当 时， ，所以 ，所以 为等差数列， ① 对；

② 若存在实数 ，使得 为等比数列，则 ，即 ，

因为方程组无解，所以 不可能为等比数列， ② 错；

③ 当 为偶数时，因为 ， ， ， ，

将上述各式相加，可得 ，

当 为奇数时， ，

若存在 ，使得 ，所以 ，且 ，

当 为偶数时， ，解得 ；

当 为奇数时， ，解得 ，

所以 不唯一， ③ 错．

故选： A

D

【分析】利用递推关系研究数列的单调性即可逐一作出判断 .

【详解】由 ，得 ，

对于 若数列 单调递减，则 ，即各项不为 1 ， ∴ 且 ， ∴ 且 ，故 且 ，故 A 错误；

对于 ：当 或 时， ，存在无数个自然数 ，使得 ，故 错误；

对于 ：当 时， ，所以 的最小值为 1 ，故 错误；

对于 时， ，

，又由以上推理知 递减，所以 ，

设 ，

，

，

，

，

依次类推， ，

所以 ，

综上，对任意 ， 正确．

故选： ．

B

【分析】显然该数列是正项数列，利用 得到一个范围，另外合理变形递推关系，得到数列的通项的范围，然后利用裂项相消法解决 .

【详解】因为 ，所以 ，所以 ，

，于是 ，故 ，由累加法可得当 时， ，而当 时， 也成立，所以 ，于是 ，

故 ，故 ，由累乘法可得当 时， ，所以 ，所以 .

故选： B

C

【分析】根据 ，逐个代入 ，即可求解 .

【详解】由题， ，所以 .

故选 . ： C